股價預期是多少？
赫爾教科書（和隨附的技術說明）說，預期的股票價格 $ \mathbb{E}[S_T]=S_0 \exp(\mu T) $ . 但是，英國精算考試（2018 年 9 月第四季度）的答案要求它是 $ S_0 \exp (\mu T +\frac{\sigma^2}{2}T) $ . 為什麼這些價值觀不一致？
在赫爾的教科書中，股價動態是對數正態的： $ S_T = S_0 \exp(\mu T - \frac{1}{2}\sigma^2T + \sigma W_T) $ ， 在哪裡 $ W_t $ 是一個標準的布朗運動。所以這個的平均值是對數正態隨機變數的平均值，對數平均值為 $ \ln S_0 + \mu T - \frac{1}{2}\sigma^2T $ 和對數標準差為 $ \sigma \sqrt{T} $ ，所以平均值是（連結到對數正態平均值的資訊）， $ S_0\exp(\mu T) $ .
在考試中，股票價格動態也是對數正態的，但現在沒有涉及到的均值項 $ \sigma $ ， 所以 $ S_T = S_0 \exp(\mu T + \sigma W_T) $ . 這是因為問題是根據維基百科（以及標準）表示法，有一個 $ \mu $ 參數和一個 $ \sigma $ 參數，所以 $ \mu $ 值是給定的。所以這個對數正態隨機變數的平均值是 $ S_0\exp(\mu T+ \frac{1}{2}\sigma^2T) $ .
所以這兩個結果其實並不矛盾。它們是不同的答案，但都不是“錯誤的”，儘管赫爾結果是您在金融教科書中看到的典型結果。精算考試結果只是他們決定使用的股票價格的對數正態動態的一個特例。
讓我們專注於技術說明，但讓我們更改符號以便於比較。筆記有兩部分：
首先，如果我們假設股票價格是對數正常的，具有以下參數：
$ S_t \sim \mathrm{LN}\left(\ln S_0+\mu t,\sigma^2 t\right) $
那麼根據定義，它的日誌是正態分佈的：
$ \ln S_t \sim \mathrm{N}\left(\ln S_0+\mu t,\sigma^2 t\right) $
我們可以用標準法線來寫它：
$ \ln S_t=\ln S_0+\mu t+\sigma \sqrt{t} Z $
意思是：
$ S_t=S_0 e^{\mu t+\sigma \sqrt{t} Z} $
上述變數的平均值確實是：
$ E\left[S_t \right]=S_0 e^{E \left[ {\mu t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]+ 0.5 V\left[ {\mu t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]}=S_0 e^{\mu t+0.5\sigma^2 t} $
這相當於 $ e^{m+s^2/2} $ 在 Hull 的技術說明中（就在等式 1 之後）。
另一方面，如果我們假設股價遵循 GBM：
$ \frac{dS_t}{S_t}=\mu dt + \sigma dW_t $
然後通過應用 ito 引理，我們知道這意味著：
$ d \ln S_t=\mu dt+\sigma dW_t-\frac{1}{2}\sigma^2 dt $
$ \ln S_t=\ln S_0+\mu t+\sigma W_t-\frac{1}{2}\sigma^2 t $
或按照標準法線（重排後）：
$ \ln S_t=\ln S_0+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t}Z $
$ S_t=S_0 e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t}Z} $
所以它是正常的，但平均 $ \ln S_0+\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right) t $ 和變異數 $ \sigma^2t $ . 赫爾的技術說明在方程式之後立即給出了這些公式 $ e^{m+s^2/2} $ 我上面提到的。 **註釋引用了文本，我相信這是赫爾教科書（第 7 版）中的方程 13.3。**因此，我們可以計算出它的期望值如下：
$ E\left[S_t \right]=S_0 e^{E \left[ {\left(\mu-0.5 \sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]+ 0.5 V\left[ {\left(\mu-0.5\sigma^2\right) t+\sigma \sqrt{t} Z}\right]}=S_0e^{\left(\mu-0.5\sigma^2\right) t+0.5\sigma^2 t}=S_0 e^{\mu t} $
**現在到考試術語：**似乎考試使用的是帶漂移的對數正態模型 $ \mu $ 以均值表示對數正態分佈 $ \mu $ .
重新評論，GBM 過程的一維邊際分佈確實是對數正態分佈，但棘手的部分是漂移與均值之間的聯繫。如果我們用漂移來表示 GBM $ \mu t $ 和變異數 $ \sigma^2 t $ 經過 $ \mathrm{GBM} \left(\mu t, \sigma^2 t\right) $ ，則在時間 t 的過程值， $ S_t $ 鑑於其目前值， $ S_0=1 $ ， 有 $ \mathrm{LN} \left(\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t, \sigma^2 t \right) $ .
對於路徑相關選項，如果要使用機率分佈方法，則需要在不同時間對過程值進行聯合分佈。大多數收益的聯合分配將無法以易於處理的形式獲得。雖然對於一些路徑相關的選項，例如幾何平均，聯合分佈很容易使用，因為聯合分佈又是對數正態的。因此最好使用數值方法：在風險中性度量下模擬過程值，或使用基於 PDE 的方法。