有關聯的拍賣
這個問題是 Vijay Krishna 的拍賣理論（第 2 版，第 6 章，範例 6.2）中給出的一個範例。問題如下：
認為 $ S_1,S_2 $ ， 和 $ T $ 均勻且獨立地分佈在 $ [0,1] $ . 有兩個投標人。投標人 1 收到信號 $ X1=S1+T $ , 投標人 2 收到信號 $ X_2=S_2+T $ . 該對像對兩個投標人具有共同的價值， $ V=(X_1+X_2)/2 $ .
現在，我們需要找出首次價格拍賣的出價策略。均衡投標函式為 $ \beta(x)=\int_0^xv(y,y) ,dL(y|x) $ . $ L(y|x) $ 進一步等於 $ \exp(-\int_y^x,\frac{g(t|t)}{G(t|t)},dt) $ .
我有四個問題：
- 怎樣 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 附屬？
- 怎麼 $ \frac{g(t|t)}{G(t|t)} $ 在這個例子中計算？
- 我如何找到的聯合密度 $ X_1 $ 和 $ X_2 $ ?
- 如何找到條件密度 $ X_2 $ 鑑於 $ X_1=x $ ?
- 粗略地講， $ X_1 $ 和 $ X_2 $ 是附屬的，因為它們有共同的組成部分 $ T $ . 也就是說，如果 $ X_1 $ 很大， $ X_2 $ 往往也很大，因為很大 $ X_1 $ 做一個大 $ T $ 比沒有這些資訊的可能性更大。如果對於聯合密度，變數是附屬的 $ f_{X_1,X_2} $ $$ f_{X_1,X_2} (x’,y) f_{X_1,X_2} (x,y’) \geq f_{X_1,X_2} (x,y) f_{X_1,X_2} (x’,y’) \quad \forall x’\geq y, y’\geq y, $$
在這裡是平等的。也就是說，它們是弱關聯的。見下文。 2. 在克里希納的書中 $ G $ （分別。 $ g $ ) 通常是其他投標人中價值最高的 CDF（resp.密度）， $ Y_1 $ . 在這裡，只有一個其他投標人，這樣 $ Y_1=X_2 $ 和 $ g(y|x) = f_{X_2|X_1=x}(y |x) $ .
現在，如果您知道如何找到聯合密度，我的答案只會對您有所幫助。這是我們想要找到的：
那麼，如何到達那裡？
- $ S_1,S_2, T $ 是 iid 從均勻分佈中抽取的。讓我們首先考慮聯合 CDF $ X_1, X_2 $ 有條件的 $ T=t $ . 這很容易，因為他們現在獨立了！一旦我們有了這個條件 CDF，我們就可以使用它 $$ F_{X_1,X_2} (x,y) = \int_0^1 F_{X_1,X_2|T=t}(x,y|t) f_T (t) dt, $$ 在哪裡 $ f_T(t)= 1 $ 如果 $ t\in [0,1] $ 和 $ f_T(t)= 0 $ 除此以外。然後，我們對關於 $ x $ 和 $ y $ 去尋找 $ f_{X_1,X_2}(x,y) $ . 這應該看起來像 Krishna 在他的照片中所擁有的，或者像Avery (ReStud 1998)附錄中的函式，範例來自（我猜）。這些計算是繁瑣的工作，需要區分大小寫，因此很容易搞砸，但你從 $$ F_{X_1,X_2|T=t}(x,y|t) = \mbox{Pr}(X_1<x,X_2<y|T=t) = \mbox{Pr}(S_1<x-t,S_2<y-t) $$ 然後注意均勻分佈的支持。CDF 是 $ F_{S_1}(s)=s $ 為了 $ s\in [0,1] $ 較小的則為零 $ s $ 和一個更大的 $ s $ .
讓我們以示範區為例， $ y>x>1 $ : $$ F_{X_1,X_2}(x,y) = \int_0^{x-1} 1 dt + \int_{x-1}^{y-1}(x-t)dt+ \int_{y-1}^1 (x-t)(y-t)dt, $$ 這給了我們一些 Mathematica 說它有導數的東西 $ \partial x \partial y $ 等於 $ 2-y $ . 現在，我們可以驗證克里希納圖形的區域之一。再來一個好玩的，如果 $ x<y<1 $ , $$ f_{X_1,X_2}(x,y) = \frac{\partial^2}{\partial x \partial y} \left( \int_0^x (x-t)(y-t) dt + \int^1_x 0 dt \right) = x. $$ 等等。現在，你可以回到我的回复 1。
- 的條件密度由等式給出 $$ f_{X_1,X_2} (x,y) = f_{X_1|X_2=y} (x|y) f_{X_2} (y), $$ 在哪裡 $$ f_{X_2}(y) = \begin{cases} y &\mbox{if } y \in [0,1] \ 2-y &\mbox{if } y \in [1,2], \end{cases} $$ 這是從以下事實得出的 $ X_2 =S_2+T $ ， 和 $ S_2 $ 和 $ T $ 是獨立均勻分佈的。你用卷積到達那裡。你得到的應該看起來像 Avery 論文中的這個情節
然後，你整合找到 $ G(y|x) $ 並返回我的回复 2。
