與附屬機構的第二次價格拍賣中的預期付款
具有附屬關係的次價拍賣中的對稱競價策略由下式給出 $ \beta(x)=v(x,x) $ ， 在哪裡 $ v(x,y)=E[V_1|X_1=x,Y_1=y] $ （這裡 $ Y_1 $ 是其餘統計量中最高階的統計量 $ n-1 $ 投標人，投標人 1 被假定為中標人）。
鑑於此，投標人的預期付款為 $ E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x] $ . 我想，這應該等於 $ \int_0^x v(y,y)g_{Y|X}(y|x) dy $ . Menezes 和 Monteiro在*《拍賣理論導論》*中給出了相同的表述。然而，維杰克里希納在他的書中寫道 $ E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x]=\int_0^x v(y,y)dK(y|x) $ ， 在哪裡 $ K(y|x)=\cfrac{ G_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)} $ .
我的問題是，這兩種表達方式相同嗎？
注意：兩本書的符號不同，而 Vijay Krishna 使用 $ g(.),G(.) $ 對於密度和分佈，Menezes 和 Monteiro 使用 $ f(.),F(.) $ ， 分別。
我看不出克里希納的表情有什麼問題。如果我不得不猜測，那將是梅內塞斯和蒙泰羅定義他們的 $ f_{Y|X}(y|x) $ 不同，或者他們只是忘記調整密度 $ Y_1 < x $ . 這兩個表達式應該是相同的。
如果你有一些隨機變數 $ Y $ 與 CDF $ F $ ， 密度 $ f $ 和支持 $ [a,b] $ , 下面兩個符號說的是同一件事 $$ \int v(y) f(y) dy = \int v(y) d F(y) \quad \mbox{for any function } v(y). $$ 如果你條件 $ Y $ 在存在 $ Y<x $ , 你必須調整 cdf 因為新的支持只上升到 $ x $ , $$ F_{Y|Y<x} (y) = \begin{cases} 0 \quad &\mbox{if } y <a, \ \frac{F(y)}{F(x)} \quad &\mbox{if } y \in [a,x],\ 1 \quad &\mbox{if } y >x. \end{cases} $$ 這樣你就有一個表達式是一個 $ y=x $ .
因此， $$ E[v(Y_1,Y_1)|X_1=x,Y_1<x]= \int_0^x v(y,y)d\cfrac{ G_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)} = \int_0^x v(y,y) \cfrac{ g_{Y|X}(y|x)}{G_{Y|X}(x|x)} d y. $$