評估索賠小號一個小號一個S^a：這個練習/解決方案似乎有錯誤
以下練習和解決方案是在 Abraham Weishaus 的“金融經濟學模型”中找到的。我的問題是：
- 在這個問題中， $ S(t) $ 不滿足 Black-Scholes 框架，因為波動性是隨時間變化的。根據第 15 頁的這篇論文，我們似乎需要修改 $ S(t) $ 用於 Black-Scholes 公式，使得：
$$ \text{Var}\left(\ln S(t) | S(0)\right) = \frac{1}{1 - 0}\int_0^1 (\sigma(t))^2 dt = \frac{1}{1 - 0}\int_0^1 (0.16t)^2 dt = 0.00853333. $$ 2. 第二個問題是，根據措辭，這似乎是觸發條件的差距選項 $ S(1) > 60 $ 而不是 $ S(1)^{0.9} > 60 $ .
作者在勘誤表中提到 $ r $ 解頂部的第四個表達式中的指數應更改為 $ \alpha $ ，但沒有解決這些其他問題。
這些擔憂是否合理，或者作者的解決方案是否正確？
在 Black-Scholes 框架下，標的股票價格過程 $ {S_t, , t\ge 0} $ 滿足來自的 SDE
$$ dS_t = S_t (\alpha dt + \sigma dW_t), $$ 在哪裡 $ {W_t, , t\ge 0} $ 是標準布朗運動， $ \alpha $ 是連續複利的股票收益，並且 $ \sigma $ 是恆定的波動率。然後 $$ S_t = S_0e^{(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}. $$最後， $$ \ln S_t = \ln S_0 + \big(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2\big)t + \sigma W_t, $$和 $$ \text{Var}( \ln S_t \mid S_0) = \sigma^2 t. $$根據給定的資訊， $ \alpha=0.15 $ , $ \sigma = 0.4 $ . 讓 $ X_t = S_t^a $ . 注意
$$ \begin{align*} X_t &= X_0e^{(a\alpha-\frac{1}{2}a\sigma^2)t + a\sigma W_t}\ &=X_0e^{(a\alpha + \frac{1}{2}a(a-1)\sigma^2-\frac{1}{2}a^2\sigma^2)t + a\sigma W_t}\ &\equiv X_0e^{(\mu-\frac{1}{2}a^2\sigma^2)t + a\sigma W_t}. \end{align*} $$ 這裡， $$ \begin{align*} \mu = a\alpha + \frac{1}{2}a(a-1)\sigma^2 = 0.1287. \end{align*} $$ 期權收益由下式給出
$$ \begin{align*} (S_1^a - 30) 1_{S_1 > 60} &= (S_1^a - 30) 1_{S_1^a > 60^a}\ &= (X_1 - 30) 1_{X_1 > 60^a}\ &=X_1, 1_{X_1 > 60^a} - 30, 1_{X_1 > 60^a}. \end{align*} $$ 因此，預期收益由下式給出 $$ \begin{align*} E(X_1) N(d_1) - 30 N(d_2), \end{align*} $$ 在哪裡 $$ \begin{align*} d_1 = \frac{\ln (X_0 / 60^a) + \mu + \frac{1}{2}a^2 \sigma^2}{a\sigma}, \end{align*} $$ 和 $$ \begin{align*} d_2 = d_1 - a\sigma. \end{align*} $$