關於自然率假設的計量經濟學檢驗的問題
大家好：我有 Lucas，1972b 的論文“自然利率假設的計量經濟學檢驗”，但不幸的是不是 pdf。（它來自一本書，其中包含大量盧卡斯的論文，稱為“商業周期理論研究”）。假設閱讀這個問題的人已經閱讀了那篇論文並理解了它，你能解釋一下方程 11) 和 12) 是如何產生的嗎？非常感謝您的幫助。
原始問題的附錄：
我將寫出導致我不遵循推導的兩個方程的方程。我希望沒有多少人擁有該文件的 pdf，因此這些方程式顯然會有所幫助。
$ y_t = a(P_{t} - P^{*}_{t}) $ （總供給函式）。
$ y_{t} + P_{t} = x_{t} $ （總需求表）
$ x_{t} =\rho_{1} x_{t-1} + \rho_{2} x_{t-2} + \epsilon_{t} $ ( AR(2) 為 $ x_{t} $ ).
$ P_{t}^{*} = E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t}) + \eta_{t} $
（代理人對時間價格預期的定義 $ t+1 $ . )$ (1+a) P_{t} - a P^{*} {t} = x{t} $
（通過 (1) 和 (7) 的直接代數操作獲得。）變數的含義：
$ P_{t} $ 是時間 t 的價格水平。
$ P^{}{t} $ 是時間 t+1 的預期價格水平，預期是在時間 t 取得的。（代理人對價格水平的預期）。本質上， $ P{t+1} $ 是下一期的價格水平，其中的變數， $ P^{}_{t} $ , 是預測。
$ y_{t} $ 是時間 t 的輸出。
$ x_{t} $ 是貨幣供應量的對數，是一個移位參數。它是策略規則的一部分，它給出了目前值 $ x_{t} $ 作為系統狀態的函式。
在解釋了這些方程式之後，作者接著說：
“我們將尋求線性解決方案 $ P_{t} $ 和 $ P^{*}_{t} $ 方程 9 和 10："
$ P_{t} = \pi_{1} x_{t} + \pi_{2} x_{t-1} + \pi_{3} \eta_{t} $
$ P^{*}{t} = \pi{4} x_{t} + \pi_{5} x_{t-1} + \pi_{6} \eta_{t} $
方程 11) 和 12) 是我完全無法推導的方程。非常感謝你的幫助。標記
MarkPS：對於任何與 RE 背後理論搏鬥的新手來說，除了 11) 和 12) 的推導之外，這篇論文是我發現的最清晰和最簡單的論文。我強烈推薦它。我最近才找到這本書，並決定在所有頂尖的 RE 人中，盧卡斯在他的著作的清晰度方面確實脫穎而出。
方程 $ 11 $ ） 和 $ 12 $ ) 不是派生的，而是假定的。
具體來說，使用 eq。 $ 9 $ ) Lucas 定義/假設 $ t+1 $ 價格水平是基於的條件預期 $ x_t, x_{t+1},\eta_t $ （加 $ \eta_t $ 在其自己的）。這是強加理性預期假設。
然後他說“我們將尋求線性解決方案……”翻譯為“假設函式形式 $ E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t}) $ 它的參數是線性的，然後確定（或估計）係數”。當然，這很可能是這個條件期望的真實函式形式的近似。
所以假設_
$$ E(P_{t+1}| x_{t}, x_{t-1}, \eta_{t}) = \pi_{4} x_{t} +\pi_{5} x_{t-1} + \beta\eta_{t} $$ 並將其插入 $ 9 $ ) 我們得到 $ 12 $ ) 與映射 $ \pi_{6} = 1+\beta $ .
插入 $ 9 $ ） 在 $ 10 $ ) 我們得到
$$ (1+a) P_{t} - a [\pi_{4} x_{t} + \pi_{5} x_{t-1} + \pi_{6} \eta_{t}] = x_{t} $$ $$ \implies P_{t} = \frac{1+a\pi_{4}}{1+a}x_t +\frac{a\pi_{5}}{1+a}x_{t-1}+\frac{a\pi_{6}}{1+a}\eta_{t} $$ 這是 $ 11 $ )，在壓縮和映射上述係數到 $ \pi_1, \pi_2, \pi_3 $ 那些。