變異數自相關的平穩過程；平方根法則
我目前正在分析投資組合對數回報的時間序列，並進行了 ADF 測試，結果表明該序列是平穩的，但在平方回報序列中也發現了顯著的自相關性。這不是矛盾嗎，因為如果序列是平穩的，那麼收益的分佈應該與時間無關，因此隨著時間的推移具有穩定的變異數？
我的目標是找出我是否可以使用平方根規則來推斷從 1 天到 10 天的標準偏差。該規則要求回報（給定）和變異數平穩性中的零自相關。鑑於我的測試結果，我不確定這是否有效。另一個問題是，這個平方根規則是否取決於分佈，它必須是正態分佈還是獨立於分佈？
謝謝。
您是正確的，因為該系列不是靜止的。ADF 測試並非旨在測試位置中心之外的平穩性。您將無法使用平方根規則進行推斷，因為您有顯著的變異數自相關。
通過指出返回不是數據，我確實對您的問題提出了建議。價格是數據，但回報是數據的轉換。日誌返回是對原始數據的更大轉換。
讓我們從一個簡單的 AR(1) 價格過程開始 $ p_{t+1}=Rp_t+\epsilon_{t+1} $ ，其中 R 是隱含的回報，並且為簡單起見， $ \epsilon_{t+1}\sim\mathcal{N}(0,\sigma_{t+1}) $ 和 $ \epsilon_{t}\perp\epsilon_{t+\Delta{t}} $ . 根據 Mann 和 Wald，我們知道 OLS 估計量是 $ R $ 對於誤差項的任何分佈。從 White 處，我們知道OLS 估計量的抽樣分佈 $ R $ 是柯西分佈。由於柯西分佈沒有均值，這與說不存在非貝氏解決方案相同，這也與均值變異數金融背後的思想一致。另一方面，如果回報被定義為 $ r_t=\frac{p_{t+1}}{p_t} $ 和兩者 $ p_t $ 和 $ p_{t+1} $ 那麼是獨立的正態隨機變數 $ r_t $ 將有一個柯西分佈。它的對數版本將是雙曲正割分佈，它確實具有均值和變異數。
讓我們進一步假設價格是局部流動性的函式，而全域是貼現現金流的函式。這使得流動性成為一種快速功能，而現金流成為一種緩慢的功能。雖然這意味著回報應該是通過價格的流動性的函式，但流動性本身有兩個組成部分，全球利率和針對做市商特定流動性需求的本地調整。現金流折現與全球利率相同。在另一篇論文中，我認為流動性的分佈是正態分佈還是對數正態分佈，具體取決於您使用的模型。
短期效應是回報應該集中在股息的貼現現金流上，但對數回報的變異數應該集中在短期流動性上。儘管流動性應該對位置中心有輕微影響，但由於您使用的形式，它應該出現在回歸常數中。價格的可變性，即買賣差價，是一個短期過程。由於流動性在機構內部不是特殊的，而是一個系統性問題，因此您必須預期這些術語之間的序列相關性。
滯後的數量應該反映公司改變其整體流動性水平需要多長時間。這取決於內部因素，例如保證金信用等，以及特定問題的短期外部受歡迎程度。
在查看回報的序列相關性時，您暗示的是價格的動量。這意味著價格不會立即調整，否則，歷史回報中將沒有資訊。您應該同時查看買賣差價和利率。我認為你有一個錯誤指定的模型，除了將其與短期利率和買賣差價的時間序列相匹配之外，沒有其他解決辦法。您可能希望在The Valuation Handbook中查看 Abbott 的適銷性和流動性模型。您還應該抓住一篇關於從雙曲正割分佈中提取的變數總和的文章，因為這本質上是回歸公式的右側。
對於時間的平方根規則，您只需要不相關的回報。然後
$$ VAR[R_1 + \cdots + R_N] = VAR[R_1] + \cdots + VAR[R_N], $$ 那麼如果 $ VAR[R_i] = VAR[R_j] = \sigma^2 $ 為了 $ i,j = 1, \ldots, N $ 然後 $$ VAR[R_1] + \cdots + VAR[R_N] = N \sigma^2 $$ 和 $$ \sqrt{VAR[R_1 + \cdots + R_N]} = \sigma \sqrt{N}. $$ 事實是 $ R^2_i $ is not uncorrelated 表明收益不是獨立的 - 這不是上述推導所需要的。