投影和貼現曲線
我試圖更好地理解多曲線引導，但我顯然誤解了以下含義：
a) 投影曲線
b) 貼現曲線
我試過用Google搜尋定義，但它並沒有讓它更清楚。
有人可以幫忙給出一個定義和一個例子嗎？
我認為（例如）3m LIBOR 曲線將使用貼現曲線（即聯邦基金）用於期限小於 3m 的期限，然後使用 3m LIBOR 用於期限大於 3m 的期限（投影曲線）。
但我讀得越多，這似乎就越不像一個合理的定義。
讓我們看看當我們為麵包和黃油定價時會發生什麼，即在兩個世界中的普通利率互換——單曲線世界和多曲線世界。
讓第一個重置日期為 $ T_\alpha $ 最後付款日期是 $ T_\beta $ .
在單曲線世界中，普通 IRS 在時間上有 PV $ t $ 成為 $$ \begin{align} \pi_t & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q} }{t} \left[ \sum{i} D_{tT_i} \tau_i \left[ L(T_{i-1};T_{i-1},T_i) - K \right] \right] \ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \left[ \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^{T_i} }{t} \left[ L(T{i-1};T_{i-1},T_i) \right] - K \right] \ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \left[ L(t;T_{i-1},T_i) - K \right] \ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i L(t;T_{i-1},T_i) - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \ & = \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \ & = \sum_{i} P_{tT_i} \left[ \frac{P_{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \ & = P_{tT_\alpha} - P_{tT_\beta}-K \sum_{i} P_{tT_i} \tau_i \end{align} $$
在多曲線世界中，普通的 IRS 在時間上有 PV $ t $ 成為
$$ \begin{align} \pi_t & = \mathbb{E}^{ \mathbb{Q} }{t} \left[ \sum{i} D^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \left[ L(T{i-1};T{i-1},T_i) - K \right] \right] \ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \left[ \mathbb{E}^{ \mathbb{Q}^{T_i} }{t} \left[ L(T{i-1};T_{i-1},T_i) \right] - K \right] \ & = \sum_{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \left[ L(t;T{i-1},T_i) - K \right] \ & = \sum{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i L(t;T{i-1},T_i) - K \sum{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \ & = \sum{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] - K \sum_{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \ \end{align} $$ 環境 $ \pi_t=0 $ ，即在時間進入掉期 $ t $ 沒有成本，意味著掉期利率是 $$ K=\frac{\sum{i} P^{\text{ois}}{tT_i} \tau^{\text{ois}}i \frac{1}{\tau_i} \left[ \frac{P{tT_{i-1}} }{P_{tT_i}} -1 \right] }{\sum_{i} P^{\text{ois}}_{tT_i} \tau^{\text{ois}}_i} $$
不同之處在於，現在需要兩條 ZCB 曲線來評估掉期。風險中性措施 $ \mathbb{Q} $ 現在明顯在貼現曲線之下。您仍然假設投影曲線是下鞅 $ \mathbb{Q} $ ， 儘管。