泰勒展開復利
你投資 $ 1, 000 $ 美元 $ 10 $ 年 $ 5 $ % 年利率。每年支付的利息以相同的利率再投資。
(a) 以表格形式表示十年後的總金額 A $ A = S(1 + x)^n $ . 什麼是 $ S $ , $ x $ ， 和 $ n $ 這裡？
$ S = 1000, x = .05, n =10 $
(b) 使用計算器計算 A（最多為美分）。
插入相應的數字
$ A=1628.89 $ 美元
這就是我開始解決問題的地方
(c) 如果有人寫 $ A $ 在表格中 $ A = S(1+x)^n = S\exp(n\log(1+x)) $ 並使用近似值 $ log(1 + x) ≈ x $ 對於小 $ x $ ，然後得到 $ A ≈ Se^{nx} $ . 用這種近似方法可以得到 A 的哪個值？
(d) 更好的近似是 $ log(1 + x) ≈ x − 1/2 x^2 $ . 解釋這與找到 taylor 近似值有何關係 $ \log(1+x) $ 這是
$ log(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+…=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac{x^n}{n} $
(e) 基於 (d) 中的近似，根據 S、x 和 n 得出 A 的近似公式。在我們的具體範例中使用它來計算 A。
(c) 如果有人寫 $ A $ 在表格中 $ A=S(1+x)^n=S e^{n\ln(1+x)} $ 並使用近似值 $ \ln(1+x)\approx x $ 對於小 $ x $ ，然後得到 $ A\approx S e^{nx} $ . 哪個值 $ A $ 用這種近似方法得到？
這是基於屬性
$$ \begin{eqnarray} \ln (a^b) &=& b\ln a \tag{1a}\ e^{\ln a} &=&a \tag{1b} \end{eqnarray} $$ 所以
$$ A = S(1+x)^n \stackrel{(1b)}{=} Se^{\ln(1 + x)^n} \stackrel{(1a)}{=} Se^{n\ln(1 + x)} \tag{2} $$ 現在，您可以使用以下事實：當 $ |x|< 1 $ 然後
$$ \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots = \sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k x^k $$ 如果你整合雙方，你會得到
$$ \ln(1 + x) = x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}- \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} \tag{3} $$ 這樣對於小 $ x $ 只取這個總和中的第一項就足夠了
$$ \ln(1 + x)\approx x \tag{4} $$ 等式 (2) 則變為
$$ A_1\approx Se^{nx} = 1648.72 $$ 我將使用下標 $ 1 $ 為了強調我們只取了該系列的第一個詞
(d) 更好的近似是 $ \ln(1 + x) \approx x - x^2/2 $ . 解釋這與找到泰勒近似的關係 $ \ln(1 + x) $ 這是
$$ \ln(1 + x) = x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}- \cdots = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{x^{k+1}}{k+1} $$
您只需要在方程式中取前兩項。(3)。事情就是這樣，如果 $ x $ 是小 $ x^2/2 $ 更小，並且 $ x^3/3 $ 甚至更小，並且 $ \dots $ 因此，包含的項越多越好，但總體結果中的修正越小。最多二階
$$ A_2\approx Se^{n(x - x^2/2)} = 1628.24 $$ 這看起來幾乎與您之前找到的確切結果一樣。如果您要包含最多三階，您會看到它如何更好地接近精確解決方案。
e) 基於 (d) 中的近似，開發一個近似公式 $ A $ 按照 $ S $ , $ x $ ， 和 $ n $ . 用它來計算 $ A $ 在我們的具體例子中。
一般來說，如果你最多 $ N $ 總和這就是你得到的
$$ A_N \approx Se^{n(x - x^2 - \cdots + (-1)^{N+1}x^{N}/N)} $$ 下面是一些結果
$$ \begin{eqnarray} A_{\rm exact} &=& 1628.89 \ A_1 &=& 1648.72 \ A_2 &=& 1628.24 \ A_3 &=& 1628.92 \ A_4 &=& 1628.89 \end{eqnarray} $$