在不知道精確解的情況下，歐拉蒙特卡羅離散化的準確性？
通過使用 Euler Monte Carlo 離散化（對於 Hull-White 模型），我們模擬$$ r(t+\Delta t)=r(t)+\lambda(\theta(t)-r(t))\Delta t+\eta\sqrt{\Delta t}Z $$和 $ Z\sim N(0,1) $ , $ \lambda $ , $ \eta $ 常數和 $ \theta(t) $ 一個已知的函式直到某個 $ T $ 為了估計函式的期望 $ h(r(T)) $ ， 因此$$ \frac{1}{N}\sum^{N}{i=1}h(r{i}(T))\rightarrow\mathbb{E}[h(r(T))] $$隨著路徑數量的增加或 $ N\rightarrow\infty $ . 的精確解 $ \mathbb{E}[h(r(T))] $ 未知，因此我的問題是：關於路徑數量的歐拉蒙特卡羅離散化的準確性可以說明什麼 $ N $ ?
到目前為止，我發現我們的估計器的變異數隨著順序而減小 $ N^{-1} $ ， 自從$$ \mathbb{Var}[\frac{1}{N}\sum^{N}{i=1}h(r{i}(T))]=\frac{1}{N}\mathbb{Var}[h(r(T))] $$這意味著函式的變異數 $ h(r(T)) $ 因此再次 $ \mathbb{E}[h(r(T))] $ 必須知道，事實並非如此。此外，中心極限定理指出，誤差的機率分佈收斂到具有均值的正態分佈 $ 0 $ 和變異數 $ \frac{\mathbb{Var}[h(r(T))]}{N} $ ，這又是未知的。據我所知，除了誤差變異數的收斂順序外，一無所知。在不知道蒙地卡羅的確切解決方案的情況下，有什麼可以說明的關於蒙地卡羅使用的路徑數量的錯誤嗎？ $ \mathbb{E}[h(r(T))] $ ?
你的大部分問題已經得到解答。
關於路徑數量的 Euler Monte Carlo 離散化的準確性可以說明什麼 $ N $ ?
正如你所說，中心極限定理說我們從經驗平均值形成的估計是一個正常的隨機變數，以正確答案為中心，並且變異數隨著路徑的數量而衰減。因此錯誤 $ \epsilon \approx \sqrt{\tfrac{\mathbb{V}(h)}{N}} \propto N^{-1/2} $ . 這與我們是否使用 Euler-Maruyama 方案或任何其他方法無關。然而，微妙的是，這假設我們能夠從最終分佈中精確採樣，並且不需要模擬 SDE 路徑。如果我們需要使用 Euler-Maruyama (EM) 方案來模擬，那麼這會引入一種新的誤差，稱為變異數-偏差權衡 $$ \mathbb{E}\left(\left(\mathbb{E}(X) - \frac{1}{N}\sum \hat{X}_i\right)^2\right) = \frac{\mathbb{V}(X)}{N} + \left(\mathbb{E}(X - \hat{X})\right)^2. $$ 第二項，即偏差，受近似方案（Euler-Maruyama、Milstein 等）選擇的影響。這被稱為弱誤差，對於 Euler-Maruyama 方案，它具有弱收斂階 $ 1 $ . 如果您想了解這一點（或稱為收斂順序的強錯誤的類似版本 $ \tfrac{1}{2} $ ) 那麼這就是您擔心 Euler-Maruyama 方案的錯誤/收斂的時候。
在不知道蒙地卡羅的確切解決方案的情況下，有什麼可以說明的關於蒙地卡羅使用的路徑數量的錯誤嗎？ $ \mathbb{E}[h(r(T))] $ ?
雖然我們當然不完全知道 $ \mathbb{E}(h) $ 也不 $ \mathbb{V}(h) $ ，我們使用蒙特卡羅方法來估計第一個和第二個**！**我們可以使用經驗均值從第一個中獲得無偏估計，並使用經驗變異數從第二個中獲得有偏估計（無偏估計正規化為 $ \tfrac{1}{N-1} $ 而不是 $ \tfrac{1}{N} $ ）。如果你願意，你甚至可以更進一步估計你的變異數估計的誤差，但這通常是矯枉過正的！因此沒有必要先驗地知道這些數字。
如果您真的打算更好地模擬誤差如何收斂（例如，以多快的速度收斂到正常值），那麼 Berry-Esseen 定理將很有用，雖然您可以估計錯誤的誤差，但我認為這沒有必要.