蒙地卡羅分層抽樣的實現

背景

我正在嘗試在 Black Scholes 模型下為障礙選項實施帶有分層採樣的蒙地卡羅模擬。我知道這個工具有一個解析公式，我們可以直接模擬從時間 0 到成熟的積分，因為我們有這個模型下的股票價格分佈。但是，我想用每天的步驟來模擬它，即循環 $ S_{t_i} = S_{t_{i-1}}e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(t_i - t_{i-1})+\sigma\sqrt{(t_i - t_{i-1})}X}, X\sim N(0,1) $

Google上找到的講義

我正在嘗試實施Martin Haugh 的指導方針。當應用第 52 頁上的“結果 2”時，我們有

$ \vec{a} = (1,1,…,1)^T $ （列向量），那麼我們有 $ \vec{V} = w\vec{a} + MVN(\vec{0},I_m - \vec{a}\vec{a}^T) $

問題

1. $ I_m - \vec{a}\vec{a}^T $ 不是對稱半正定的。
2. 為什麼我們有 $ \Sigma = I_m - \vec{a}\vec{a}^T $ ?

謝謝！

你的矢量圖 $ a=(1,\ldots,1)^T $ 不滿足

$$ | a |^2=a_1^2 + \ldots + a_m^2=1, $$

正如作者在結果 2 中所假設的那樣。

**(Q1)**對於 $ m=2 $ ，我們看到在計算特徵值時需要它 $ I_2 - aa^T $ , 那就是根 $ \lambda $ 方程的

$$ 0=\det \begin{pmatrix} 1-\lambda- a_1^2 & -a_1 a_2 \ -a_1 a_2 & 1-\lambda- a_2^2 \end{pmatrix} = (1-\lambda)(1-\lambda - a_1^2 -a_2^2). $$

我們得到 $ \lambda_1 = 1 $ 和 $ \lambda_2 = 1- a_1^2 -a_2^2 $ ，它必須是非負數（如 $ I_2 - aa^T $ 是半正定的）。用你的矢量你會得到 $ \lambda_2 = -1 $ .

**(Q2)**相同的財產， $ a_1^2 +a_2^2=1 $ , 允許：

$$ (a^Ta)^2 = \begin{pmatrix} a_1^4+a_1^2 a_2^2 & -a_1^3 a_2 -a_1 a_2^3 \ -a_1^3 a_2 -a_1 a_2^3 & a_1^4+a_1^2 a_2^2 \end{pmatrix} $$ $$ =(a_1^2 +a_2^2)\begin{pmatrix} a_1^2 & -a_1 a_2 \ -a_1 a_2 & a_2^2 \end{pmatrix} =a^Ta $$

這反過來又給出：

$$ (I_2-a^Ta)(I_2-a^Ta)^T = (I_2-a^Ta)(I_2-aa^T) $$

$$ = I_2 - a^Ta -a^Ta + (a^Ta)^2 = I_2 - a^Ta $$

因此對於 $ \Sigma:= I_2 - a^Ta $ 我們有：

$$ \Sigma = \Sigma \Sigma^T $$

它提供了尊重平等的矩陣之一：

$$ \Sigma = CC^T. $$ 那是 $ \Sigma $ 本身： $$ C= \Sigma. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/57029