金融中蒙地卡羅模擬的局限性
假設我們有一個標準的 Ito 流程 $ dX_{t}=\mu\left(X_{t},t\right)dt+\sigma\left(X_{t},t\right)dW_{t} $ .
據我所知，有兩種方法可以在數值上解決這個問題：將其建構為 PDE 並解決它，或者使用蒙地卡羅方法模擬隨機路徑，然後計算預期值，這將為我們提供金融工具的價格。然後精度將像 $ C/\sqrt{N} $ ， 在哪裡 $ N $ 是樣本數。
我想了解蒙特卡羅方法在此類模擬中的局限性，更具體地說，是想了解金融領域是否存在此類模擬不可行的問題。我知道，當我們有很多維度時，PDE 方法是不可行的，唯一的選擇是使用 Monte Carlo 方法。我也知道收斂速度不是很好，因為有一個 $ \sqrt{N} $ ，因此獲得高精度的解決方案可能會很昂貴。
但是，我想了解 $ C $ . 我認為這在很大程度上取決於具體問題，但總的來說，我希望 $ C $ 可能取決於模擬時間 $ t $ ，或在尺寸上 $ d $ . 不過，我們可以談談縮放嗎？例如，是否有任何情況 $ C $ 隨著指數增長 $ t $ ? 如果是針對特定問題的情況，那麼使用蒙地卡羅技術對其進行大量模擬是不可行的，因為保持一定精度所需的樣本數量也會隨著時間呈指數增長。金融領域有沒有案例 $ C $ 擴展性很差，因此很難使用蒙地卡羅技術模擬該過程？另外，您知道我可以在哪裡閱讀有關此內容的任何參考資料嗎？
非常感謝。
標準蒙地卡羅的屬性不僅僅由底層過程決定。您需要包括儀器 $ f $ 您也想在分析中定價。
準確度的一種衡量標準確實是蒙地卡羅估計量的標準差 $ f(X) $ . 對於程序路徑的 iid 樣本 $ (x_i) $ 這個估計量是平均值 $ f $ 在路徑和 $$ \text{Var}\left[ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)\right] = \frac{1}{n}\text{Var}\left[ f(x_1)\right]. $$
所以 $ C = \sqrt{\text{Var}\left[ f(x_1)\right]} $ 和屬性 $ X_t $ ，例如在其上的區間 $ X_t $ 被定義或其狀態空間的維度，僅在它們影響該變異數的程度上才重要。
蒙地卡羅效率低下的一個典型但重要的案例是罕見事件。拿 $ f $ 成為一種支付工具 $ 1 $ 有機率 $ \delta $ 否則為 0。那麼相對誤差（標準偏差除以期望）是 $$ \text{rel. err} = \frac{\sqrt{\text{Var}\left[f\right]}}{\text{E}\left[f\right]}=\frac{\sqrt{\delta(1 - \delta)}}{\delta}=\sqrt{\frac{1-\delta}{\delta}}. $$ 作為 $ \delta $ 變小你顯然會遇到麻煩。
Glasserman是所有蒙地卡羅金融主題的標準教科書。
當我在 1990 年代第一次被要求使用 MC 實現 VaR 時，我對 MC 知之甚少，也沒有好書。Reuven Y. Rubinstein, Dirk P. Kroese 的手稿草稿。模擬和蒙地卡羅方法像“samizdat”一樣被複印了。現在這本書已經是第3 版（2016 年），而且很好。它不以財務為重點，這也很好。如果沒有這本書，我不會明白我在做什麼。
經典論文（我自己沒有讀過）是“蒙地卡羅方法”，Nicholas Metropolis 和 Stan Ulam，美國統計協會雜誌，卷。44, No. 247, September 1949, pp. 335 - 341。關於其歷史的有趣讀物是Stan Ulam、John Von Neumann 和Roger Eckhard的蒙地卡羅方法。
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保羅格拉瑟曼。金融工程中的蒙特卡羅方法。Springer (2004) - 此列表中最好的