蒙地卡羅的不收斂
第一次嘗試實現一些蒙特卡羅模擬。對於 sabr 模型（http://www.javaquant.net/papers/managing_smile_risk.pdf），這可行嗎？
這裡，a = 波動率，s = 波動率，r = 維納過程的相關性。
如果沒問題，那為什麼它不能產生與 SABR 公式相同的結果呢？
我所做的是模擬 S_T，然後為每個模擬計算 max(S_T - K,0)，然後計算平均值。對於某些參數選擇，我得到的結果與 SABR 相同，但對於其他參數選擇，即使我增加樣本和時間步長，我也會得到錯誤的數字。
所以我的程式碼錯了嗎？SABR公式錯了嗎？哪種技術產生正確的結果？
我可以在這裡看到兩個潛在的問題：
離散化方案
首先，您應該考慮不同的模擬方案。在恆定波動的特殊情況下（ $ \alpha = 0 $ )，SABR 模型簡化為 CEV 模型。您用於點過程的基本歐拉方案已顯示出對該過程的顯著偏差。參見 Lord (2014) 和 Chen 等人。(2011) 對更先進的模擬方案進行了深入討論和比較。
“SABR 公式”
我想您指的是 Hagan 等式（2.17）中的二階展開式。al (2002) 作為“SABR 公式”。顧名思義，這只是隱含波動率的近似值。此外，眾所周知，它不能免於套利（例如，對於非常低的行權價）。
參考
Lord, Roger（2014 年）“SABR 模擬的五十度”，第 10 屆固定收益會議，巴塞羅那，可在此處獲取
Chen、Bin、Cornelis W. Oosterlee 和 Hans van der Weide（2011 年）“SABR 隨機波動率模型的有效無偏模擬方案”，工作論文，代爾夫特理工大學，可在此處獲取
Hagan、Patrick S、Deep Kumar、Andrew S. Lesniewski 和 Diana E. Woodward（2002 年）“管理微笑風險”，Wilmott 雜誌
雖然對於正常 SABR 的特殊情況（ $ \beta=0 $ )，有一個精確的封閉式 MC 模擬方案，不需要及時離散化。請參閱我的論文，雙曲正態隨機波動率模型( arXiv | SSRN | DOI )