蒙地卡羅的收斂速度

我想明確顯示蒙地卡羅方法的收斂速度為 $ O(\sqrt{n}) $ ， 在哪裡 $ n $ 是模擬路徑的數量。假設我想以歐式看漲期權的價格來做這件事。也就是說，我為價格選擇一個解析解決方案並開始我的模擬：固定時間步數，比如 100，然後選擇一系列路徑： $ 100, 400, 1600, 6400 $ ，我應該看到解析解與 MC 生成的解之間的誤差減少了 $ 4 $ ? 那將是如何生成它的範例嗎？

估計誤差是一個隨機變數，而不是簡單的標量。因此，在執行一次性評估時，您總是會發現使用 $ 6400 $ 路徑提供比使用“更好”的價格估計 $ 100 $ 其中。重要的是調查估計量的變異數，而不是查看它可以採用的逐點值 (*)

要獲得蒙地卡羅收斂速度的圖形感覺，您需要一個準確的價格來比較您的 MC 估計值。對於歐式期權並在 BS 建模框架下，此價格由著名的 BS 公式給出。讓我們用 $ C $ . 同樣，假設您為 SDE 選擇了一個離散化方案（儘管歐洲或有債權不需要它）並設法模擬 $ N $ 路徑，因此 $ N $ 終端資產價格的值 $ S_T $ :

$$ S_T^{(n)},\ \forall n=1,\dots,N $$

• 形成蒙地卡羅估計量 $ \hat{C}_n $ 的真實期權價格 $ C $ 僅使用 $ n $ 總路徑 $ N $ . $$ \hat{C}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^n e^{-rT} f(S_T^{(i)}) $$
• 對所有人重複此操作 $ n=1,\dots,N $ 為您提供一系列估算器 $ { \hat{C}n }{n=1}^N $ .
• 繪製序列 $ {X_n}_{n=1}^N $ 在哪裡 $ X_n = \vert \hat{C}_n - C \vert $ 以對數刻度（x 軸 = 使用的模擬 $ n $ , y 軸 = $ X_n $ ).

由於 CLT（如 @Behrouz Maleki 所述），您應該觀察到圖表的“主幹”是一條直線斜率 $ -\frac{1}{2} $ 如下面的底部子圖所示 (**)

（）我們只能查看變異數，因為我們知道平均值*很好：MC 估計器是無偏的（撇開@MJ73550 的答案中明確說明的與離散化相關的偏差）。

(**) 您可能想跳過第一個模擬並直接從 $ n=100 $ 以避免污染您的圖表。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/28428