一旦達到某個收斂水平，就停止蒙特卡羅模擬
我正在創建一個蒙特卡羅模擬模型，我用它來為具有各種支付條件的歐式期權定價，因此我不能使用 Black Scholes。
一旦我 95% 確定我在真實值的 1% 以內，我想停止模擬。
為此，我使用以下方法計算每 10 000 個模擬人生的相對誤差（正確命名？）：
$$ Relative Error = \frac{(\sigma/\sqrt{n}) Z_{\delta/2}}{\mu} $$ 在哪裡
$$ \sigma/\sqrt{n} $$ 代表標準誤差和 $$ Z_{\delta/2} $$ 我的置信水平，所以 1.96 表示 95%。 μ 是模擬的平均值（公允值）。
如果相對誤差小於 1%，那麼我停止模擬。
這是解決我的問題的正確方法嗎？
是的，這是一個很好的方法。唯一可能出錯的情況是，例如，如果您在不使用重要性採樣的情況下對某個極端尾部事件進行積分。
例如，假設您正在模擬由美國、德國、挪威、瑞典和荷蘭發行的五種債券的投資組合的預期損失。在 10,000 次模擬之後，您可能仍然沒有生成任何具有預設值的路徑，在這種情況下 $ \sigma=0 $ 你的算法會停止。
你有正確的想法，但似乎你不知道 $ \mu $ ，因此在錯誤檢查中使用它似乎不正確。此外，每 10,000 次迭代檢查一次結果可能不是決定何時停止的最佳選擇。
為了清楚起見，讓 $ E(X) = \mu $ 和 $ Var(X) = \sigma $ . 我們在編寫時呼叫了 CLT
$$ P\left( \left|\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right| > 1.96 \right) \approx P(|Z| > 1.96) = 0.05. $$ 換句話說，樣本均值的機率約為 95% $ \bar{X}_n $ 是在 $ 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} $ 真實均值的單位 $ \mu $ . 我們如何在模擬中使用它？首先，注意
$$ S_n^2 := \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 $$ 是一個無偏估計量 $ \sigma^2 $ . 因此，如果我們想要大約 95% 的機率 $ \bar{X}_n $ 是在 $ 0.01 $ 單位 $ \mu $ , 我們繼續模擬直到 $$ 1.96\frac{S_n}{\sqrt{n}} < 0.01. $$ 有兩個重要事項需要注意：
- 我們本應該 $ n \geq 30 $ 使用此錯誤檢查，因為這是 CLT 的結果，並且
- 線上實現 $ \bar{X}_n $ 和 $ S_n^2 $ 會更有效率，所以我們不會每次都重新計算它們。
對於第 2 項，我們可以使用
$$ \begin{align} \bar{X}{n+1} & = \bar{X}n + \frac{X{n+1} - \bar{X}n}{n+1}, \ S^2{n+1} & = \left(1 - \frac{1}{n}\right)S_n^2 + (n+1)(\bar{X}{n+1} - \bar{X}_n)^2 \end{align} $$ 現在我們可以簡單地使用
while( $ 1.96\frac{S_n}{\sqrt{n}} > 0.01 $ ) 循環，恰好在遇到此錯誤的迭代處停止。