變異數減少技術 - 控制變數技術
在控制變數技術中，我們必須計算 $$ b=\frac{\text{cov}{{X,Y}}}{\text{var}{{X}}} $$ 在哪裡 $ X $ 是標準看漲期權的回報，並且 $ Y $ 是例如障礙期權的回報。為什麼我們必須估計 $ b $ 在我們使用這種方法之前，我們不能使用我們在定價過程中使用的收益嗎？或者我可以先計算這些期權的收益，然後根據它們，計算期權價格，最後計算 $ b $ 使用相同的收益並相應地改變障礙期權的價格？
**編輯：**我目前的問題：我嘗試使用 MC 模擬計算向上和向外看漲期權的價值。我使用了三種方法：1) 標準蒙特卡羅，2) 反演變數 MC，3) 使用標準看漲期權控制變數 MC。BS模型的正確價格是 $ 1.3341 $ . 我的三種方法（參數相同，模擬次數相等 $ 100000 $ ) 給了我這些結果：
- 主持人： $ 1.3621 $
- 對立MC： $ 1.3763 $
- 控制變數 MC： $ 1.3703 $
使用標準 MC 我得到最優惠的價格是否正常？
假設您想為衍生品定價 $ X $ （例如障礙選項）。你模擬 $ M $ 採樣路徑和計算 $ M $ 潛在的貼現收益， $ f_X $ . 標準的蒙地卡羅估計價格 $ X $ 只是（算術）平均值，$$ \text{Price}=\bar{f_X}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^Mf_X(i). $$
控制變數的想法是你使用你的 $ M $ 為另一種衍生品定價的途徑， $ Y $ ，這（非常）類似於 $ X $ . 例如，如果您為障礙期權定價，那麼您可以使用普通期權作為控制變數。重要的是，對於這個控制變數（導數 $ Y $ )，你需要知道一個封閉形式的解決方案，稱之為 $ f_Y^* $ .
現在，你得到了 $ M $ 樣本收益 $ X $ （表示為 $ f_X $ ） 和 $ M $ 樣本收益 $ Y $ （表示為 $ f_Y $ ) 以及閉式解 $ Y $ （表示為 $ f_Y^* $ ）。根據您的樣本收益，讓我們計算一下$$ \hat\beta = \frac{\mathbb{C}\text{ov}(f_X,f_Y)}{\mathbb{V}\text{ar}[f_Y]}. $$這看起來像回歸係數（市場貝塔）或最小變異數對沖。然後，您的衍生工具價格的新控制變數估計為$$ \text{Price}=\bar{f_X}+\hat\beta(f_Y^-\bar{f_Y}). $$期限 $ f_Y^-\bar{f_Y} $ 是你的隨機數的偏差。按比例縮放偏差校正 $ \hat\beta $ 確保新變異數小於（或等於）的樣本變異數 $ f_X $ . 這個想法是 $ \hat\beta $ 作為問題的最優（即變異數最小化）解決方案出現 $$ \min_\beta; \mathbb{V}\text{ar}[f_X+\beta(f_Y^*-f_Y)]=\mathbb{V}\text{ar}[f_X]+\beta^2\mathbb{V}\text{ar}[f_Y]-2\beta\mathbb{C}\text{ov}(f_X,f_Y). $$
顯然，越 $ f_X $ 和 $ f_Y $ 相關，方法越好。想像一下，你為一個下跌的看跌期權定價。這種回報實際上與普通看跌期權的回報呈負相關。不包括 $ \hat\beta $ 可能會使您的價格估計更糟！
查看Boyle、Broadie 和 Glasserman (1997)了解更多詳情。例如，您可以同時使用多個儀器作為控制變數和最優 $ \hat\beta $ 當然，係數看起來與多元線性回歸中的係數相似。