對偶採樣和二階矩匹配
背景：
這是參考馬克·喬希數學金融概念的第 7 章第 10 題。
問題：
正常的隨機生成器產生以下抽籤：
$$ 0.68, -0.31, -0.49, -0.19, -0.72, -0.16, -1.01, -1.60, 0.88, -0.97 $$ 在對立採樣和二階矩匹配之後，這些平局會變成什麼。 Joshi 的解決方案 - 這些和它們的負數的平方和是 $ 13.3482 $ . 被除以 $ 20 $ 要得到 $ 0.6674 $ ，其平方根為 $ \pm 0.81695 $ . 將二十個數字除以這個數量得到
0.83, -0.83,
-0.38, 0.38,
-0.60, 0.60,
-0.23, 0.23,
-0.88, 0.88,
-0.20, 0.20,
-1.24, 1.24,
-1.96, 1.96,
1.08, -1.08,
-1.19, 1.19.
我對此解決方案感到困惑，因為書中沒有進行此計算的公式。如果有人可以指出公式或他如何獲得此解決方案，將不勝感激。
我剛剛完成了這個練習，它相當簡單，這也是一個老問題，但為什麼不在這里分享我的推理。
就第一點而言，執行對立抽樣顯然加快了蒙地卡羅方法的收斂速度，因為每次抽籤選擇兩個數字，而不是一個， $ x $ 和 $ -x $ 平均 $ = 0 $ .
因此，給定的樣本加倍為 20 元素數組 $ S $ :
$$ S = \left[ \begin{align} 0.68,&-0.68,\ −0.31,&; 0.31,\ −0.49,&; 0.49,\ −0.19,&; 0.19,\ −0.72,&; 0.72,\ −0.16,&; 0.16,\ −1.01,&; 1.01,\ −1.60,&; 1.60,\ 0.88,&; -0.88,\ −0.97,&; 0.97 \end{align}\right] $$
然後在第二點，我們被要求執行第二個矩匹配 $ S $ . 我們基本上需要重新調整平局 $ S $ 以便 $$ \mathbb{E}[S^2] = \mathbb{E}[(N(0,1))^2] = \sigma^2_N = 1 $$
計算 $ \mathbb{E}[S^2] $ :
$$ \mathbb{E}[S^2] = \frac{\sum_{i=1}^{20} s_i^2}{20} = 0.66741 $$
和 $ s_i $ 單打 $ S $ .
為了改造 $ \mathbb{E}[S^2] $ 從 $ 0.66741 $ 至 $ 1 $ ， 每個 $ s_i^2 $ 需要除以 $ 0.66741 $ . 這樣，上述總和中的分母將是 $ 20 \cdot 0.66741 $ ，因此 $ \mathbb{E}[S^2] = 1 $ . 因此，正規化的抽獎集 $ S $ 將是，因為 $ i = 1, 2, \dots, 20 $ :
$$ S = \frac{s_i}{\sqrt{0.66741}} = \left[ \begin{align} 0.83,& , -0.83,\ -0.38,& , 0.38,\ -0.60,& , 0.60,\ -0.23,& , 0.23,\ -0.88,& , 0.88,\ -0.20,& , 0.20,\ -1.24,& , 1.24,\ -1.96,& , 1.96,\ 1.08,& , -1.08,\ -1.19,& , 1.19 \end{align} \right] $$