AAD（伴隨自動微分）在某個點上對不可微函式的適用性
AAD（伴隨自動微分）在某些時候對不可微分函式的適用性。
我最近在學習蒙地卡羅模擬時了解了伴隨自動微分（AAD）。通過論文
$$ 1 $$,$$ 2 $$， 和$$ 3 $$，我回顧了 AAD 的定義和各種金融工程的例子，例如基於固定浮動 IRS 的籃子期權、亞洲期權、美式期權和 CVA。其基本思想是將微分過程分解為內在函式和運算，從而提高過程的效率。因此，這種方法必須在所有步驟中都有差異化。這裡出現了一個問題。這種 ADD 方法不能應用於具有不可微分支付函式的定價函式嗎？例如，我想將此方法應用於範圍應計。 我覺得這個方法真的很有效。但它不能應用於無法區分的功能，就像我提出的例子一樣嗎？我很抱歉我糟糕的英語和表達方式。
$$ 1 $$由 Luca Capriotti 編寫的算法微分法快速希臘人 $$ 2 $$王成波撰寫的算法微分的金融應用 $$ 3 $$AAD 和 Least-Square Monte Carlo : Fast Bermudan-Style Options 和 XVA Greeks 由 Luca Capriotti、Yupeng Jiang 和 Andrea Macrina 撰寫
2017 年，我組織了一場關於自動微分及其在金融行業中的應用的小型研討會，與其他學者就 AAD 應用於金融問題的方式分享想法。Olivier Pironneau 提出了一種將 AAD 應用於並非處處可微的函式的方法。通過 Gilles Pagès，他們展示瞭如何重用Giles (2008)中的結果，該結果允許重寫 $ \mathbb{E}(V^\theta(t)) $ 這樣它就可以區分 $ \theta $ 不需要推導 $ V $ !
訣竅是寫出歐拉方案 $ V $ 沿著 $ t $ 並區分該方案的遞歸表達式。
另一個技巧是要注意 $$ {\rm Re}\left(\frac{f(a+i\delta a)-f(a)}{i\delta a}\right)={\rm Im}\left(\frac{f(a+i\delta a)}{\delta a}\right)=f’(a)+f^{(3)}(a)\frac{\delta a^2}{6}+o(\delta a^3) $$ 沒有更多的地方 $ \delta a $ 在分母上！
他們還使用平滑版本替換函式的不可微分部分，在 $ x $ 經過 $ 1/(a\sqrt{\pi})\exp -x^2/a^2 $ 然後扔 $ a $ 到無窮遠。
我的建議是閱讀論文的第 4 節，看看你是否可以將它用於你的具體問題。