計算蒙特卡羅模擬的控制變數
對於一個練習，我需要計算 $ \mathbb{E}[X] $ 使用蒙特卡羅模擬。我需要使用控制變數 $ Y $ 和 $ \text{Var}(Y)=2 $ 和 $ \text{Cov}(X,Y)=1 $ .
我被要求給出最佳選擇 $ \theta $ 在以下公式中：
$ Z_{\theta}=X+\theta(\mathbb{E}[Y]-Y) $ 通過使隨機變數的變異數 $ Z_{\theta} $ 盡可能小。
我假設你從重寫開始 $ \text{Var}(Z_{\theta}) $ ，這就是我所做的：
$ \text{Var}(X+\theta(\mathbb{E}[Y]-Y)) $
$ =\text{Var}(X)+\text{Var}(\theta(\mathbb{E}[Y]-Y))
- 2\text{Cov}(X,\theta(\mathbb{E}[Y]-Y)) $
$ = \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]-Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta\text{Cov}(X,Y) $
$ = \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]) +\theta^2\text{Var}(Y) -\theta^2\text{Cov}(\mathbb{E}[Y], Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta\text{Cov}(X,Y) $
由於我無法進一步重寫公式，因此我插入了變數。這給了：
$ = \text{Var}(X) +\theta^2\text{Var}(\mathbb{E}[Y]) +2 \theta^2 -\theta^2\text{Cov}(\mathbb{E}[Y], Y) +2\theta \text{Cov}(X,\mathbb{E}[Y]) -2\theta $
但是我不知道如何從這裡繼續，沒有價值 $ \mathbb{E}[X] $ . 難道我做錯了什麼？
第一個目標是通過選擇適當的控制變數來最小化變異數。
首先註意期望值只是一個常數，所以期望值和隨機變數之間的共變異數為零：
$$ \text{Cov}\left(\mathbb{E}[Y], X\right) = 0 $$ 同樣對於期望值的變異數， $ \text{Var}(\mathbb{E}[Y])=0 $ . 的變異數 $ Z_{{\theta}} $ 因此由下式給出
$$ \text{Var}(\mathbb{E}[Z_{{\theta}}]) = \text{Var}(\mathbb{E}[X])+2\theta^2 - 2\theta $$ 你不需要知道這個變異數是什麼。你感興趣的是選擇一個 $ \theta $ 使得這個變異數盡可能小。換句話說，您希望通過設置相對於的導數來最小化這種變異數 $ \theta $ 等於零。導數由下式給出
$$ \frac{d\text{Var}(\mathbb{E}[Z_{\theta}])}{d\theta} = 4\theta -2 $$ 將此設置為零給出 $ \theta = \frac{1}{2} $ .
所以現在你已經確定了最優 $ \theta $ . 接下來，您需要執行蒙特卡羅模擬並模擬 $ X $ 和 $ Y $ 始終如一。從這些模擬中，您可以估計 $ \mathbb{E}[Y] $ 使用樣本均值 $ Y $ （或者，如果您碰巧通過分析知道這一點，則更好的是真正的平均值）。有了這個期望，您可以構造變數 $ Z_{\theta} $ 和 $ \theta = 1/2 $ 對於你的每一個 $ N $ 模擬。
最後，您計算樣本均值 $ Z_{\theta} $ ，這是對期望值的估計 $ X $ .