CIR 離散化 Milstein 方案
即期匯率的 CIR 模型 $ r_t $ 是：
$$ dr_t=(\eta-\gamma r_t)dt+\sqrt{\alpha r_t} dW_t $$ 在哪裡 $ \eta, \gamma, \alpha $ 是常數。
如何使用 Milstein 方案以離散形式表示此 SDE？
我得出的一個是：
$$ r_{t+1}=r_t+(\eta-\gamma r_t)\delta t+\sqrt{\alpha r_t}\cdot\sqrt{\delta t}\phi +\frac{1}{2}\sqrt{\alpha r_t}\cdot\left(\frac{1}{2}\frac{\alpha}{\alpha r_t}\right)[\delta t(\phi^2-1)] $$ 在哪裡 $ \phi $ 是正常的房車。
誰能幫我找出我的錯誤？還是正確的？
以下 CIR 模型的 Milstein 方案
$$ dr_t=(\eta-\gamma r_t)dt+\sqrt{\alpha r_t} dW_t $$ 應該
$$ r_{t+1}=r_t+(\eta-\gamma r_t)\delta t+\sqrt{\alpha r_t}\cdot\sqrt{\delta t}\phi +\frac{1}{2}\sqrt{\alpha r_t}\cdot\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\alpha}{r_t}}\right)[\delta t(\phi^2-1)] $$ $$ r_{t+1}=r_t+(\eta-\gamma r_t)\delta t+\sqrt{\alpha r_t}\cdot\sqrt{\delta t}\phi +\frac{1}{4}\alpha(\phi^2-1)\delta t $$ 在哪裡 $ \phi $ 是正常的房車。 我認為你錯誤地得出 $ \frac{\partial\left(\sqrt{\alpha r_t}\right)}{\partial r_t} $ 在最後一個學期。