計算交叉伽馬
我正在嘗試使用 delta-gamma 方法和蒙特卡羅模擬來計算包含期權和股票的投資組合的 VAR。
要使用該方法，我需要計算一個伽馬矩陣，它的對角線中有伽馬，而 i,j 分量中有交叉伽馬。
我的問題是如何計算交叉伽馬？我到處尋找，但找不到封閉的公式或方法。
BR
考慮一個工具值 $ f(S_0^1, \ldots, S_0^n) $ 這取決於 $ n $ 現貨水平。讓
$$ \overrightarrow{S}_0=[S_0^1, \ldots, S_0^n]^T $$豆 $ n $ 表示點級別的維向量。我們可以近似交叉伽馬 $$ \begin{align*} \frac{\partial^2 f\big(\overrightarrow{S}_0\big)}{\partial S_0^i \partial S_0^j} \end{align*} $$ 通過形式的有限差分方案 $$ \begin{align*} &\frac{1}{4 \varepsilon^2 S_0^i S_0^j}\Big[f\big(\overrightarrow{S}_0 + \varepsilon S_0^i\overrightarrow{1}_i + \varepsilon S_0^j\overrightarrow{1}_j\big) - f\big(\overrightarrow{S}_0 + \varepsilon S_0^i\overrightarrow{1}_i - \varepsilon S_0^j\overrightarrow{1}_j\big)\ & \qquad\qquad - f\big(\overrightarrow{S}_0 - \varepsilon S_0^i\overrightarrow{1}_i + \varepsilon S_0^j\overrightarrow{1}_j\big) + f\big(\overrightarrow{S}_0 - \varepsilon S_0^i\overrightarrow{1}_i - \varepsilon S_0^j\overrightarrow{1}_j\big)\Big], \end{align*} $$ 在哪裡 $ \overrightarrow{1}_i $ 是一個 $ n $ 維向量 $ 1 $ 在裡面 $ i^{th} $ 元素和零在別處。這裡， $ \varepsilon $ 是一個小擾動，通常設置為 $ 0.01 $ . 為了證明上述觀點，我們使用泰勒展開。例如，
$$ \begin{align*} f\big(\overrightarrow{S}_0 + \Delta_i\overrightarrow{1}_i + \Delta_j\overrightarrow{1}_j\big)&\approx f\big(\overrightarrow{S}_0\big)+\Big(\Delta_i\frac{\partial }{\partial S_0^i}+ \Delta_j\frac{\partial }{\partial S_0^j}\Big)f\big(\overrightarrow{S}_0\big)\ & \ \ + \frac{1}{2}\Big(\Delta_i\frac{\partial }{\partial S_0^i}+ \Delta_j\frac{\partial }{\partial S_0^j}\Big)^2f\big(\overrightarrow{S}_0\big) + o(\Delta_i \Delta_j ). \end{align*} $$