幾何布朗運動 - 增加模擬或減小步長
我正在執行蒙地卡羅模擬來估計某些股票的未來股價。
對於股票 A，我需要正好一年後的 1 個股價。
對於股票 B，我需要來年每個交易日的每日價格。
這兩個模型都被模擬了，比如說，1000 次。
由於 B 的 dt 較小，這提高了一年後股價的準確性。但是如何證明這一點？而且，模擬次數和時間步長之間的關係是什麼？
編輯： 我使用 3 年對數正態每日收益來估計波動率；漂移基於零息債券，其期限等於期權/股票的期限（在本例中為 1 年）。兩者在模擬年保持不變。使用 Mersenne Twister 算法生成隨機數。
時間 t 的股票價格由下式計算：
對於 A，dt = 1
$$ S_{t}= S_0 \cdot exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma\sqrt{dt}Z) $$ 對於 B，我使用歐拉離散化，dt = 1/255
$$ S_{t+dt}= S_t \cdot exp((r-\frac{1}{2}\sigma^2)dt+\sigma\sqrt{dt}Z) $$
由於您使用幾何布朗運動 (GBM) 作為模型，因此 SDE 有一個強（因此也是弱）的解決方案。也就是說，您的模擬大概看起來像
$$ S^A_T \sim S^A_0 \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) T + z \sigma \sqrt{T} \right) $$ 對於標準高斯 $ z $ 具有精確的正確分佈。
因為高斯變數的總和本身就是高斯的，所以您對股票 B 的鍊式模擬遵循以下公式
$$ S^B_{t_i} \sim S^B_{t_{i-1}} \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \right) $$ 望遠鏡進入
$$ S^B_{t_N} \sim S^B_0 \prod_{i=1}^N \exp\left( \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \right) $$ 或者
$$ S^B_{t_N} \sim S^B_0 \exp\left( \sum_{i=1}^N \left(r-q-\frac12 \sigma^2\right) (t_{i}-t_{i-1}) + z \sigma \sqrt{t_{i}-t_{i-1}} \right) $$ 並且在分配方面也完全正確。
因此，以 1 年的時間間隔對股票 A 進行模擬的“準確度”不亞於對股票 B 的模擬。
現在，如果您使用股票 B SDE 的 GBM 的 Euler 或 Milstein 離散化，那麼您將有理由擔心相對準確性。
a) 在 NOW 和 1 YEAR 之間進行任何模擬是沒有意義的。直接模擬 1 年的股價。
b）在這裡你關心stoch過程的PATH，所以模擬每一天，但不要模擬“中間”或“內部”天。
程序 b 有效地使用程序 a 中的算法，並對漂移和 vol 進行適當調整
衡量“準確性”計算信賴區間。您的估計具有正態分佈，樣本變異數與 SQRT (N) 成正比，其中 N - 模擬次數。因此，如果您進行 4 倍的模擬，您將獲得兩倍準確的估計 SQRT(4)=2。增加 N 的成本非常高，最好使用變異數減少技術（參見 wiki）。