給定特定的蒙特卡羅模擬，不同的相關值將如何變化
我目前正在一家投資銀行從事有關金融工具新會計法規的項目。手頭的任務是了解大量變數之間的聯繫。以最簡單的形式，我的問題可以如下提出：
讓 $ \tilde{X} $ 和 $ \tilde{Y} $ 是兩個具有樣本均值的隨機變數 $ \hat{\mu_{\tilde{X}}} $ , $ \hat{\mu_{\tilde{Y}}} $ , 樣本變異數 $ \hat{\sigma_{\tilde{X}}}^2 $ , $ \hat{\sigma_{\tilde{X}}}^2 $ 和样本共變異數 $ \hat{\sigma_{\tilde{X}\tilde{Y}}}^2 $ .
我已經執行了 1000 次蒙特卡羅模擬 $ \tilde{X} $ 在由下式給出的幾何布朗運動下
$$ d{\tilde{X_t}}=\hat{\mu_{\tilde{X}}}\tilde{X_t}dt+\tilde{\sigma_{\tilde{X}}}\tilde{X_t}dW_{t}, $$ 在哪裡 $ W_{t} $ 是維納過程；正態分佈—— $ \mathcal{N}(0,t) $
一個特定的模擬，比如說 $ i $ 1000 是特別有趣的。我現在對可能的值感興趣 $ \tilde{Y} $ .
我試圖採用計量經濟學方法。也就是說，對 $ \tilde{X} $ 和 $ \tilde{Y} $ 並使用回歸方程
$$ \tilde{X_i} = \tilde{\beta_0} + \tilde{\beta_1}{\tilde{Y_{i}}}, $$ $$ \implies \tilde{Y_i} = \frac{\tilde{X} - \tilde{\beta_0}}{\tilde{\beta_1}}, $$ 嘗試退出的值 $ \tilde{Y_i} $ .
我對結果不太滿意。因此，我希望有一種替代方法。我還有其他想法——即為樣本創建一個新的發行版，但希望能在這個論壇上收集專家的想法。
提前感謝所有花時間閱讀和/或提供他們對此事的想法的人。
格斯
Quantuple 的評論在這裡是完全相關的。您已經通過共變異數矩陣定義了 X 和 Y 之間的關係。使用蒙特卡羅方法生成一組成對變數（或多個變數）的傳統方法是對矩陣使用 Cholesky 分解。你有：
$$ \Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_x \sigma_x & \rho_{xy} \sigma_x \sigma_y \ \rho_{xy} \sigma_x \sigma_y & \sigma_y \sigma_y \end{bmatrix} $$ 定義 Cholesky 分解： $ \Sigma = \mathbf{LL^T} $ 在哪裡 $ \mathbf{L} $ 是一個下對角矩陣。對於 2x2 情況，我們有： $$ \mathbf{L}= \begin{bmatrix} \sigma_x & 0 \ \rho_{xy} \sigma_y & \sigma_y\sqrt{(1-\rho_{xy}^2)} \end{bmatrix} $$ 現在，如果，對於您定義的每次迭代 $ \mathbf{Z}=[Z_1, Z_2] $ 兩個獨立的標準正態變數，組合 $ \mathbf{LZ}+\mu $ 將定義成對的樣本，其共變異數矩陣趨向於您想要的大樣本。我相信（雖然很久沒看過）n 個樣本的共變異數矩陣的分佈是由 Wishart 分佈定義的。您也可以為此使用 PCA 分解，但我相信計算成本更高。