蒙特卡羅
如何計算幾何布朗運動的均值和波動率參數？
說我有一個時間序列 $ S_K $ 過去 30 年的每月資產價格。我想使用幾何布朗運動進行蒙特卡羅模擬
$$ S_t = S_0\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right) $$
在我的蒙特卡羅模擬中，我計劃使用時間增量 $ dt=\frac{1}{12} $ 模擬 1 個月的增量。
什麼意思 $ \mu $ 和波動性 $ \sigma $ 應該在計算中使用？直覺地說，使用長期（30 年）平均值和標準偏差似乎不正確，因為模擬將有 1 個月的時間步長，所以我不確定要使用什麼值。
如果您想完全依賴歷史值（而不是遠期曲線和隱含波動率），那麼 $ \mu $ 將是在一段時間 T 內測量的年化指數增長率，計算為 $ \mu=\frac{ln(S_{T}/S_{0})}{T} $ （其中 T 以年為單位），以及 $ \sigma $ 將是年化波動率，確定為 N 天期間對數回報的變異數，年化因子為 $ \sqrt{N_{trade}/N} $ ， 在哪裡 $ N_{trade} $ 是每年的交易天數（通常取為 252）：
$ \sigma=\frac{\sqrt{N_{trade}/N}}{\sqrt{n-1}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}ln^{2}(\frac{S_{i+N}}{S_{i}})} $
或許值得一提的是平均遺漏的原因 $ \mu $ 上述公式中的對數返回 - $ \mu $ 通常遠小於標準偏差 $ \sigma $ 日誌返回。使用這些公式，你不必擔心觀察間隔的長度，只要你設置 $ T $ 和 $ N $ 正確。