如何使用伴隨蒙特卡羅方法計算希臘語？

假設我有一個隨機 ODE

$$ dS = a(S)dt + b(S)dW, $$ 用歐拉近似 $$ \hat{S}_{n+1}=F_n(\hat{S}_n)=\hat{S}_n+a(\hat{S}_n)h+b(\hat{S}_n)Z_n\sqrt{h}. $$ 這允許我根據繪製正態分佈的隨機數創建範例路徑 $ Z_n $ 從 $ N(0,1) $ . 現在我的期權的估計價值是

$$ \hat{V}=\frac{1}{N}\sum_i f(S^i_T) $$ 在哪裡 $ f $ 是支付函式和 $ S^i_T $ 是過程在時間的第 i 個樣本路徑 $ T $ . 假設 ODE 和 $ f $ 有各種參數，例如起始值 $ S_0 $ , 無風險利率 $ r $ 和波動性 $ \sigma $ . 此外，f 足夠連續，使得導數

$$ D_n=\frac{\partial F_n(\hat{S}_n)}{\partial \hat{S}_n } $$ 存在。

基於這些數量，我如何使用伴隨方法計算靈敏度？

連結：

• 相關問題：如何使用 Monte-Carlo 獲得希臘人的任意選項？
• 相關論文：吸煙伴：在蒙地卡羅計算中對希臘人的快速評估，Giles 和 Glasserman，2005

我們在論文中製定了做這類事情的一般方案

http://ssrn.com/abstract=1401094

及其續集

http://ssrn.com/abstract=1437847

雖然所研究的案例不同，但技術是相同的。我還在更多數學金融的一章中詳細討論了整個過程。

應用時的伴隨方法通常優於概似比和 Malliavin 演算等替代方法。

如果您想要一個可以在電子表格中輕鬆重現的簡單範例，請查看 Christian Homescu 的論文“計算金融中的伴隨和自動（算法）微分”的第 3 節。雖然表 1 是錯誤的，但您應該能夠生成使用所有 4 種方法的相同數字

1. 有限差分 2) 複雜步長 3) 正切線性 4) 伴隨

祝你好運 ！

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/9982