如何使用對數正態假設最小化參數 VaR 和 MC-VaR 之間的差異？
鑑於我們只想找到股票投資組合的風險價值，有兩種主要方法可以進行。在這個問題中，我們還假設股票遵循幾何布朗運動。
全尺寸模擬：
- 模擬法線偏差 B；
- 插入 $ S_t = S_0 e^{(\mu-0.5\sigma^2)t + \sigma t B_t} $ ;
- 選擇 1% 的最高投資組合價值。呼叫這個 $ V_p $ ;
- VaR 是 $ V_t - V_p $ .
在哪裡 $ V_t $ 是投資組合的目前價值。
這種方法當然很好，但可能無法快速給出準確的解決方案。因此，可以使用風險指標的快速修復並假設算術回報等於 logreturns ( $ \log(1+x) =x $ ) 和一個得到他們的方法：
參數版本：
- 投資組合的回報是高斯的線性組合，因此是單變數高斯本身 (Y)。
- VaR 是 $ \Phi(0.01)\sigma_Y V_t $
兩種方法都可以單獨證明，但我的問題是我想交替使用這兩種方法（在某些情況下由於時間限制）。對此 VaR 度量的聰明觀察者將看到金額根據所使用的方法上下跳躍（尤其是對於高波動性股票）。因此，是否有可能以某種方式修改參數 VaR 度量以提供更好的結果？
筆記：
- 為簡單起見假設為高斯。
- 多元情況當然是重要的問題，但您可以自己進行概括）。
- 當然，可以使用更好的模擬技術（這不是這裡要解決的問題）。
- 此外，模擬算術回報也不會解決問題。
全尺寸模擬的機率視圖。在步驟 1-3 中，您使用參數計算對數正態分佈的 0.99 分位數 $ \ln N(\ln S_0 +(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t,\sigma^2 t^2) $ .
對數正態分佈的cdf為 $ \Phi(\frac{\ln x-\mu}{\sigma}) $ 因此，您可以計算 $ V_p $ 通過 $ V_p=e^{\ln S_0 +(\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + q_{0.99} \sigma t} $
在哪裡 $ q_{0.99} $ 通過定義 $ \Phi(q_{0.99})=0.99 $
將步驟 1-3 中的 Monte-Carlo 替換為該公式，您將快速準確地計算 VaR。
如果您處於非高斯情況，請不要明確知道 $ S_t $ ，並且必須求助於近似值（高斯、高斯混合等）或蒙特卡羅模擬，您可以通過重用相同的隨機數生成數據來消除蒙特卡羅模擬的雜訊。這通常可以通過在計算之前明確設置隨機種子來實現。
但這並不是一個“更好”的結果：數據的變化剛剛被隱藏，並且引入了一個恆定的、未知的偏差。理想情況下，您應該在 VaR 估計量上提供某種形式的信賴區間：這將解釋變化。要獲得“更好”的結果，您應該縮短該間隔。
如果您還想隱藏因計算 VaR 的方法變化而導致的跳躍，您可以估計兩者之間的差異（通過使用兩種方法計算 VaR，當時間可用時），假設它大致恆定，並將其添加到您要“更正”的估算器中。（與信賴區間相比，如果偏差太大，我會避免這樣做。）