是否有使用蒙特卡羅模擬計算投資組合 VaR 的分步指南

我正在嘗試確定使用蒙特卡羅模擬計算投資組合 VaR 的分步算法。在我看來，這方面的文獻對於像 VaR 這樣常見的東西來說是非常不透明的。為簡化起見，我想最初只考慮股票投資組合，然後再考慮衍生品。

以下是我設法使用不同來源獲取的步驟：

1. 估計投資組合的目前價值 $ P_0 $ .
2. 使用股票歷史數據建構投資組合的共變異數矩陣。
3. 創建共變異數矩陣的 Cholesky 分解。
4. 生成一個包含 n 個獨立標準正態變數的向量
5. 將 Cholesky 分解產生的矩陣與標準正態變數的向量相乘，以獲得相關變數的向量。
6. 使用幾何布朗運動計算資產的終端價格。 $$ S_i(T) = S_i(0) \exp\left(\left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right)T + \sigma\sqrt{T}\epsilon_i\right) $$ 在哪裡 $ \epsilon_i $ 對應於從相關變數向量中獲得的資產 i 的相關隨機變數。
7. 重新評估投資組合的價值 $ T $ , $ P_T $ ，使用上一步生成的股票價格。
8. 使用計算投資組合收益$$ R_T=\frac{P_T - P_0}{P_0} $$
9. 多次重複步驟 4-8（例如 $ n=10000 $ 模擬）。
10. 按升序對退貨進行排序。

我有以下問題：

1. 如何從排序的投資組合收益中提取 VaR？
2. 如何定義時間範圍 T？
3. 我已經看到使用以下形式的關係離散化整個股票路徑的範例： $$ S_{(t+dt)} = S_t + S_t\mu dt + S_t \sigma \sqrt{dt} \epsilon_i $$ 我們是否需要這樣做，或者僅使用第 6 點中的公式評估股票的終端價格就足夠了？

你有正確的方法。

(1) 模擬生成抽樣投資組合值， $ P_1,P_2, \dots, P_n $ 有時 $ t=T $ . VaR 被指定為左尾百分位數。

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$$ P_{(1)} \leq P_{(2)} \leq \dots \leq P_{(n)}. $$ 如果你正在考慮 $ VaR_\alpha $ 在 $ 100(1-\alpha) % $ 置信水平，然後選擇最小的整數 $ k $ 超過 $ n\alpha $

例如，在 $ 99 % $ 等級 $ \alpha = 0.01 $ . 和 $ n=10,000 $ 模擬， $ k = (10000)(0.01) = 10 $ 和

$$ VaR_{99 %} = P|{t=0} -P{(10)} $$ 表示為相對於初始投資組合價值的最壞損失 $ 0.01 $ .

(2) 時間範圍可以是任意的，但銀行通常計算 VaR $ 1 $ -天和 $ 10 $ - 日時間範圍。這 $ 10 $ -day Var 用於設置市場風險資本要求和 $ 1 $ -day VaR 用於回測以檢查計算的保真度。例如，給定一個計算出的 $ 1 $ -day VaR 在 $ 99% $ 置信水平，則投資組合預計將在 $ 1 $ - 天期間不超過 $ 1 $ 休息日 $ 100 $ . 該測試是通過確定過去 VaR 門檻值被超過的次數來進行的 $ 100 $ 天（使用歷史回報觀察）和投資組合的目前組成。如果超額數量過多，銀行監管機構將處以更高的資本罰款。允許抽樣誤差，因此測試要求可能是 VaR 門檻值不應超過 $ 2 $ 超時 $ 100 $ ， 例如。

在確定交易對手違約導致的信用損失時，時間跨度可能長達一年。在確定信用風險敞口時，時間範圍可能會有所不同——例如，在投資組合中的所有衍生品中，到期時間最長。

(3) 在您的範例中，您選擇了一個隨機過程，該過程具有精確解的資產價格在時間範圍內的聯合分佈。沒有必要在中間時間步模擬資產價格的演變。如果用於確定未來投資組合價值的風險因素具有更複雜的隨機模型，從而排除了較長時間範圍內的精確解決方案，這可能是不可能的。另一種可能需要在更短的時間間隔內進行時間步長的情況是，當投資組合具有許多路徑相關的衍生工具時，例如剔除期權。

實踐中可能會出現不同的情況。例如，銀行可以選擇計算 $ 1 $ -day VaR 和估計 $ 10 $ -day VaR 乘以 $ \sqrt{10} $ ，而不是離散地模擬 $ 1 $ - 天跨過 $ 10 $ -天的地平線。如果它導致較低的資本要求，這將是有益的。一般來說，最好的做法是做出最準確的決定。試圖玩弄計算可能會導致處罰。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/12592