普通歐式期權的蒙特卡羅方法和伊藤引理。
我理解通過將 Ito 引理應用於以下 SDE
$$ dX=\mu,X,dt+\sigma,X,dW $$ 可以得到上述 SDE 的解，如下：
$$ {X}\left( t\right) =\mathrm{X}\left( 0\right) ,{e}^{\sigma,\mathrm{W}\left( t\right) +\left( \mu-\frac{{\sigma}^{2}}{2}\right) ,t} $$ 有人告訴我，我可以使用這些方程中的任何一個（SDE 或其解）將蒙特卡羅模擬應用於普通歐式期權，儘管第二個比第一個收斂得更快。
有人可以證實這一說法嗎？
此外，我還不清楚一點：伊藤引理在量化金融中是用來做什麼的？
兩者之間的區別在於，第一個將引導您獲得過程的離散化方案。
所以你將不得不模擬整個（近似）軌跡（意思是 $ X’{t_0},…,X’{t_n} $ ) 及時 $ T $ （您的香草選項到期）到達 $ X’_T $ 這只是一個近似值 $ X_T $ .
第二種方法是精確的，並為您提供了 $ X_T $ 只需一步。
我根本不明白你的第二個問題。
在量化金融中，我們有時會發現自己為哪些市場變數是隨機的以及如何隨機選擇了一個新的隨機模型。例如，有人可能決定他們喜歡 SDE
$$ \begin{equation} dS = \mu\ S\ dt + \left( \frac{S_0}{S} \right)^{\frac32} \sigma\ S\ dW \end{equation} $$ 因為他們想捕捉槓桿效應。 現在，這個 SDE 可能有也可能沒有封閉式解。例如在你的問題中，
$$ \begin{equation} X(t)=X(0)\ \exp{\left( σW(t)+(μ − \frac{σ^2}2)t\right)} \end{equation} $$ 是 Black-Scholes SDE 的解。另一方面，我什至不確定上面的槓桿 SDE 是否有解決方案。 Ito 引理是我們可以用來證明 SDE 的潛在解決方案確實滿足 SDE 的數學工具。所以在實踐中，這就是它在量化金融中被積極使用的地方。
引理也是定量金融中使用的許多隨機微積分的基礎，例如 Girsanov 定理，但這些用途“隱藏在下面”，因為現在純數學已經相當成熟。
為了解決收斂問題，如果您擁有自己喜歡的 SDE 的解決方案，那麼您可以模擬終端值 $ S_t $ 在宏觀時間之後的過程 $ t $ . 然後，您可以快速模擬，例如， $ M $ 到期時的期權價值 $ t $ 然後平均以計算成本對它們的期望值進行估計 $ O(M) $ . 如果您沒有解決方案，那麼您必須生成每個 $ S_t $ 通過模擬整個路徑 $ S $ 從時間 0 到時間 $ t $ 在 $ J $ 尺寸的小增量 $ \Delta t $ ，使用您的 SDE 本身，以計算成本 $ O(J \times M) $ .