使用具有股息收益率的米爾斯坦方案的蒙特卡羅模擬股票價格？
在使用 milstein 方案對股票價格進行蒙特卡羅模擬時，如果我們獲得連續的股息收益率，是否有可能以某種方式將股息收益率考慮到模擬本身中？
還是在使用這些模擬路徑評估各種衍生品時必須考慮這一點？
我對量化金融相當陌生，如果這是一個愚蠢的問題，請原諒我。
如果可以假設股息支付是連續的股息收益率，那麼將股息納入模型是很簡單的， $ q $ . 在下面 $ Q $ 測量，在 Black-Scholes 模型、Heston 模型等中， $ r $ 被替換為 $ r − q $ ., 在這裡，我們將通過 Milstein 方法在 Black-Scholes 模型中模擬標的資產。事實上，我們假設標的資產遵循以下隨機微分方程所描述的 Ito 過程 $$ dS_t=(r-q)S_t dt+\sigma, S_tdW_t $$ 對這個方程應用 Milstein 離散化，我們有 $$ S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma,S_t \sqrt{\Delta t},Z+\frac{1}{2}\sigma^2\Delta t(Z^2-1) $$ 在哪裡 $ Z $ 分佈為標準正態。然後，我們保留每條股票價格路徑中的最後一個股票價格，並在到期時獲得歐式期權的收益，取所有股票價格路徑的平均值，然後折回時間為零。因此，例如，呼叫 $ C(K) $ 和 $ C(K,S_T,r,\sigma) $ 是 $$ C(K,S_T,r,\sigma)=e^{-rt}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}max{S_T^{(i)}-K, 0} $$
正確的公式： $$ S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma,S_t \sqrt{\Delta t},Z+\frac{1}{2}\sigma^2\Delta t(Z^2-1)*S_t $$
我們可以從布朗運動方程（維納過程）中提取公式： $$ dS_t = (r-q) S_t dt + \sigma S_t dW_t $$ 在哪裡 $ W_t $ 是維納過程。
應用伊藤引理 (r, q 和 $ \sigma $ 是常數）與 $ f(S_t) = \ln(S_t) $ 給出：
$$ df(S_t) = f^\prime(S_t)*dS_t + \frac{1}{2}f^{\prime\prime} (S_t) *(dS_t)^2 \ $$ 在哪裡 $ (dS_t)^2 $ 是SDE的二次變分： $ (dS_t)^2 = , \sigma^2 , S_t^2 , d W_t^2 + 2 \sigma S_t^2 (r-q) , d W_t , d t + (r-q)^2 S_t^2 , d t^2 $
什麼時候 $ dt \to 0 $ , $ dt $ 收斂到 0 的速度比 $ dW_t $ ， 自從 $ dW_t^2 = O(dt) $ .
所以上面的無窮小可以簡化為： $ (dS_t)^2 = \sigma^2 S_t^2 dt $
$ df(S_t) = \frac{1}{S_t},dS_t + \frac{1}{2} (-S_t^{-2}) (S_t^2\sigma^2,dt) = \frac{1}{S_t} \left( (r-q) S_t,dt + \sigma S_t,dW_t \right) - \frac{1}{2}\sigma^2,dt = \ =\left (r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\ \right ),dt + \sigma dW_t $
$$ d(ln S_t) = (r-q - \frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma dW_t $$ $$ S_{t+\Delta t} = S_t * e^{\int\limits_t^{t+\Delta t}{(r - q - \frac{1}{2}\sigma^2)}dt + \int\limits_t^{t+\Delta t}{\sigma dW_u}} $$ 取積分並分解麥克勞林級數到第三項的指數 $$ ≈ S_t * [1 + (r-q)\Delta t + \sigma \Delta W_t + \frac{1}{2}\sigma^2((\Delta W_t)^2 - \Delta t)] $$ 在哪裡 $ \Delta W_t = Z(0,1)\sqrt{\Delta t} $ ， 在哪裡 $ Z(0,1) $ 是來自正態分佈的隨機變數 $$ S_{t+\Delta t} = S_t+(r-q)S_t \Delta t+\sigma,S_t Z \sqrt{\Delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2(Z^2-1) \Delta tS_t $$
ps：user16891忘記把最後一項乘以 $ S_t $
pss：使用等式 $ S_{t+\Delta t} = S_t * e^{(r - q) \Delta t + \sigma Z \sqrt{\Delta t} + \frac{1}{2}\sigma^2 (Z^2-1) \Delta t} $ 蒙特卡羅模擬可以更快（在python中）。
psss：更多理論 $ dW $ 你可以在這裡找到（莫斯科國立大學 SDE 課程筆記，俄語）