使用本地成交量和蒙地卡羅的價格下跌和障礙期權
作為一名入門級金融工程師，我正在嘗試使用我學到的概念（包括本地捲、蒙地卡羅）來理解一個實際案例，所以如果我的理解是正確的，我非常感謝你的建議：
問題：
假設我們使用本地 vol 和 monte carlo 為 Down and In Barrier Call Option 定價，我認為我們應該這樣實現它：
首先，我們使用 Dupire 公式校準局部體積表面：$$ \sigma_{LV}^2(T,K) = \frac{\Sigma^2 + 2\Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial T} + \mu(T)K \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)} {\left( 1-\frac{Ky}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right)^2
- K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K}
- \frac{1}{4} K \Sigma T \left( \frac{\partial \Sigma}{\partial K} \right) ^2
- K \frac{\partial^2 \Sigma}{\partial K^2} \right)} \tag{1} $$ 在哪裡 $ y = \text{ln}(K/F(0,T)) $ 和 $ \Sigma = \Sigma(T,K) $
其次，我們使用模擬股票價格演變的幾種路徑 $ S_i = S_{i+1}e^{(r-0.5\sigma^2)\Delta{}t+\sigmasqrt(\Delta{}t)\epsilon_i}, $ $ \Delta{}t=(T-t)/N, $ $ t_i = t+\Delta{}ti, i = 0,1,2…N $ ，所以這是我的疑問，再次非常感謝您的建議：什麼是 $ \sigma $ 在進化？是嗎 $ \sigma(K,T) $ , $ K $ 是障礙期權的行使價，並且 $ T $ 是步的時間 $ i $ 和 $ T=t_i = t+\Delta{}t*i $ ?
第三，在計算股票價格演化的所有路徑（例如路徑數為100）後，對於所有低於障礙的股票價格（當然是在到期時間T），對應的障礙期權價格為零，並且對於所有高於障礙的股票價格，我們使用收益公式 $ max(S_T-K,0) $ 計算期權價格，然後我們將所有計算的期權價格相加並除以路徑數，然後將平均價格折現到目前時間。
我想知道我的理解是否正確？
對於第一個問題，您可以只為 T 插入 t，為 K 插入 S：
$ \sigma^2 \left(t, S \right)=\left. \sigma^2 \left(T,K\right) \right|_{T=t,K=S} $
對於蒙地卡羅部分，障礙將適用於某個視窗（可能是從今天到期權到期，但其他變化也可能）內的股票價格歷史，而不僅僅是終端價格。因此，對於較低的敲入障礙看漲期權，您將設置收益等於 $ \max \left(S_T-K, 0\right) 1_{m_T <l} $ 在哪裡 $ m_T $ 表示最低股票價格，比如期權的生命週期，1 是指標函式，如果條件滿足則返回 1，否則返回 0。因此，您只計算股票價格在某個時間點低於障礙 l 的路徑，然後這些路徑中的每一條路徑下的收益都是標準看漲期權收益。
現在，如果對障礙進行了謹慎的監控，並且這些離散時間點與蒙地卡羅的時間離散化相吻合，那麼您可以輕鬆計算最低股票價格。但是，大多數時候您將處理連續障礙，這有點棘手，因為股票價格可能會低於離散步驟之間的障礙，而我們的離散模擬步驟無法捕捉到。但是有一個技巧可以對此進行調整 - 該技巧使用反射原理和 Girsanov 定理來計算價格在每個離散時間間隔內低於障礙的條件機率。