mv投資組合優化中的準隨機蒙特卡羅
不為蒙地卡羅模擬的隨機收益指定相關矩陣相當於假設沒有相關性或相關係數為零，這將嚴重和不利地影響模擬結果。因此，在準隨機蒙特卡羅模擬資產分配方法中，值不再完全從分佈中隨機抽取，而是根據一組一致的資產類別假設有目的地抽取。
$$ Quantitative Portfolio Optimization, Asset allocation and Risk management - Mikkel Rassmussen - 2003 $$
在了解了平均變異數投資組合優化（ mv 投資組合優化中的蒙地卡羅（重採樣））背景下的“簡單”蒙地卡羅方法之後，我了解到一個重大改進將是在隨機抽取時考慮資產的共變異數/相關矩陣退貨樣本。
我現在能夠找到並閱讀的所有關於準隨機蒙特卡羅方法的論文和文章都假設資產回報是正態分佈的：
- 一種是直接從多元正態分佈生成樣本（它由均值向量指定，通常由共變異數矩陣指定）。
- 一個從正態分佈中為每個資產生成樣本（由均值和標準差指定），然後將它們乘以矩陣[Math Processing Error]這樣 $ C $ $ C \cdot C^T $ 等於共變異數或相關矩陣[Math Processing Error] $ \sum $ （從而引入相關偏差）。
- [Math Processing Error] $ C $ 可以根據 Cholesky 分解或從特徵值和特徵向量生成。
考慮到上述所有問題，我的問題如下：
- 當然，收益呈正態分佈的假設非常簡單，因此給定非正態隨機生成的收益樣本（即來自擬合的 Gumbel 分佈 - 通過最大概似估計）仍然是正確的，將它們乘以矩陣[Math Processing Error] $ C $ 還是這種技術僅在從正態分佈產生收益時才有效？如果是這樣，應該將哪些其他技術應用於非正態隨機生成的回報？
- 無論如何生成[Math Processing Error] $ C $ 首先需要從歷史數據中計算共變異數/相關矩陣。是否首選使用相關矩陣或共變異數矩陣作為 Cholesky 分解的輸入（請說明兩者的優缺點）？
謝謝你們。
…這種技術僅在從正態分佈產生收益時才有效？
是和不是。將它們乘以[Math Processing Error]將產生您想要的相關性，但通常不會保留分佈。請記住，當我們申請時[Math Processing Error]到 iid 隨機變數的向量[Math Processing Error]結果向量元素是 $ C $ $ C $ $ \boldsymbol{x} $ $ \sum_j C_{ij}x_j $ ，它是 iid 隨機變數的加權和。通常，來自某個分佈的兩個（或多個）隨機變數的總和不必遵循與其成分相同的分佈。例如，這不適用於均勻分佈，但它確實適用於正態分佈。（有趣的是，它也適用於柯西分佈！）。這適用於一些發行版：
- 二項式
- 負二項式
- 魚
- 普通的
- 柯西
- 伽瑪
- [數學處理錯誤] $ \chi^2 $
變異數成立的事實來自[Math Processing Error]iid 標準化隨機變數在哪裡[Math Processing Error]我們有[Math Processing Error]. $ \mathbb{V}(C\boldsymbol{x}) = CC^T\mathbb{V}(x) = CC^TI = \Sigma $ $ \boldsymbol{x} $ $ \mathbb{V}(x) = I $
是首選使用相關矩陣還是共變異數矩陣
該方法需要共變異數矩陣。如果您試圖從數據中估計這一點，那麼我們需要恢復一個正定矩陣，這有其自身的挑戰。數值穩定性和電腦性能存在問題（參見 PCA 作為 Cholesky 的替代方案），以及確保正定要求，這些問題在這個問題中得到解決：蒙地卡羅的 Principal Component Analysis vs. Cholesky Decomposition
應該如何處理？
同樣，在對前一點的回答中處理了其中幾個問題。