（重新）蒙地卡羅模擬中隨機變數的正規化
我有一個非常簡單的模型（CIR）和一個非常簡單的離散化方案（歐拉），我用它來做蒙地卡羅模擬。這是工作。
有人堅持我的隨機變數的重整化會產生更好的結果。即在繪製我的正態分佈隨機變數之後，我應該將它們轉換為精確地獲得均值 0 並將其相乘以獲得變異數 1。我以前從未聽說過這種簡單的技術。
從理論上講，我不確定我的新隨機變數是否具有我想要的正態分佈。從實際的角度來看，結果的變化是荒謬的。
這種技術真的有效嗎？你有一個有用的例子嗎？或者這是非常錯誤的反例？
是的，這種技術稱為矩匹配變異數減少，它確實可能導致某種形式的變異數減少。一階和二階矩對應於分佈的均值和變異數。您可以擴展到更高階的時刻，這當然更難實現並且會產生一些額外的成本。
平均值可以通過線性校正進行調整：
$$ \tilde{X}_i=X_i -\bar{X} + \mu_X $$ 或乘法：
$$ \tilde{X}_i=X_i \frac{\mu_X}{\bar{X}} $$ 在哪裡 $ \bar{X} $ 是樣本均值， $ \mu_X $ 確切的意思。這取決於手頭的應用程序來決定哪些更合適。如果過程 $ X_i $ 均值為零，您當然不會使用乘法版本。類似地，如果過程是嚴格非負的，那麼線性方法可能會導致一些 $ X_i $ 變成消極的，這也是不可取的。因此，在執行矩匹配時請記住這一點。
組合的均值和變異數矩匹配可能如下所示：
$$ \tilde{X}_i = (X_i - \bar{X})\frac{\sigma_X}{s_X} + \mu_X $$ 在哪裡 $ s_X $ 和 $ \sigma_X $ 分別是樣本和分佈標準差。這種轉換實際上會引入一些偏差，這會導致您嘗試定價的任何選項的估計值出現偏差。但根據專家的說法，這些通常非常小，所以應該沒問題。此外，偏差隨著樣本量的增加而消失。
您可以將此技術視為一種特殊類型的控制變數。控制變數通過使用另一個程序來工作 $ Y_i $ 更換樣品 $ X_i $ 經過：
$$ \tilde{X}_i=X_i - b (Y_i - \mu_Y) $$ 在哪裡 $ b $ 通過將其設置為最佳 $ Cov[X,Y]/Var[X] $ . 相似性應該很清楚。請注意，通過調整均值和變異數，您實際上是在使用兩個控制變數，所以這絕對是值得考慮的事情。
最後，缺點是您仍然需要知道過程的實際均值和變異數是多少；如果您正在處理多個程序，則可能還存在共變異數。這可能需要一些繁重的數學運算（但希望有人已經為您完成了這項工作）。高階矩變得更加難以獲得。
另一個問題是這些轉換通常會在樣本之間引入依賴關係。因此，您不能再使用通常的信賴區間建構規則，因為這是基於獨立樣本的。對於估計的可信度等問題，這是一個問題。您可以通過創建不同批次的樣本來部分解決此問題，並將矩匹配應用於各個批次。對於可能微不足道的收益，這又是更多的成本。
最後，Boyle、Broadie 和 Glasserman 證明，如果您有可用的矩，那麼您通常最好將其用作控制變數而不是將其用作矩匹配（即，您可以通過這種方式獲得更多的變異數減少）。原因是矩匹配本質上是一種使用控制變數的形式，但具有次優係數 $ b $ . 他們的證明在本文的附錄中。