來自總體投資組合分佈與單個資產分佈的樣本
假設我有三個資產 $ x_1,x_2,x_3 $ 在具有權重的投資組合中 $ W=\begin{bmatrix} w_1 \ w_2 \ w_3 \end{bmatrix} $ , 預期收益 $ R=\begin{bmatrix} \mu_1 \ \mu_2 \ \mu_3 \end{bmatrix} $ , 和共變異數矩陣 $ V $ .
我的投資組合的預期回報是 $ \mu_p=W^TR $ 我的投資組合的變異數是 $ \sigma^2_p=W^TVW $ .
我想使用正態分佈對我的投資組合進行蒙特卡羅模擬。
我可以通過以下方式做到這一點：
- 從投資組合收益分佈中抽樣 $ N(\mu_p,\sigma^2_p) $ .
- 從三個單獨的資產回報中取樣，並使用這三個回報來計算我的整體投資組合回報。
首先，我將如何完成第二種方法（我將從多元正態分佈中抽樣）？
其次，這兩種方法是否等效，只要我假設權重 $ W $ 我的投資組合保持不變？
對於第一種情況，您將直接採樣 $ n $ 隨機法線 $ x $ 併計算： $$ R^p_i = \mu_p + \sigma_p x_i, i \in [1,n] $$
對於第二種情況，您可以採樣 $ n $ X $ 3 $ 獨立法線，計算 Cholesky 分解矩陣 $ C $ 的 $ V $ ，這是矩陣 $ C $ 這樣 $ V=C^t C $ ，並得到 $ n $ 向量樣本 $ X $ 大小為 3。
回報 $ R_i $ 隨機抽獎 $ i $ 是（誰）給的： $$ R_i = \mu_p + C . X_i, i \in [1,n] $$ 您可以檢查高值 $ n $ 向極限值收斂： $$ E(R_i) = R $$ $$ Cov(R_i) = V $$ 然後投資組合回報計算為： $$ R^p_i = W.T R_i $$ 你可以檢查它是否收斂到相同的均值和變異數 $ \mu_p $ , $ \sigma_p^2 $ 對於足夠大的 $ n $ .
這兩種方法在數學上是等價的，因為獨立法線的線性組合是正態分佈的。只要生成的隨機法線變數是 iid 高斯法線，這種方法就可以工作。
使用 numpy，可以使用 np.random.normal 生成 iid 法線。如下所述，np.random.multivariate_normal 可用於生成多元高斯向量。