GBM的模擬
我有一個關於 GBM 模擬的問題。我在這裡發現了類似的問題，但沒有提到我的具體問題：
給定一個GBM的形式
$ dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t) $
很明顯，這個 SDE 在
$ S(t) = S(0) exp ([\mu - \frac{1}{2}\sigma^2]t + \sigma W(t)) $
對於給定的 $ S(0) $ .
現在，我發現消息來源聲稱，為了模擬 GBM 的整個軌跡，需要將其轉換為離散形式（例如，此處或 Iacus 的一個類似問題：“隨機微分方程的模擬和推理”，62f. ）。然而，在 Glasserman：“Fin. Eng. 中的蒙地卡羅方法”，p。94，我發現
$ S(t_{i+1}) = S(t_i) exp (\mu - \frac{1}{2}\sigma^2 + \sigma\sqrt{t_{i+1}-t_i} Z_{i+1}) $
在哪裡 $ i=0,1,\cdots, n-1 $ 和 $ Z_1,Z_2,\cdots,Z_n $ 是獨立的標準法線是一種精確的方法（即，沒有來自離散化的近似誤差）。
我真的不明白兩者之間的區別是什麼，或者換句話說，如果確切的方法可以讓我模擬整個軌跡，我為什麼還要費心將其轉換為離散形式？
也許我只是沒有看到這裡的重點，但我真的很困惑並感謝任何幫助！
為了完整起見，讓我們重申離散情況是這樣的：
$$ \Delta S_t = S_{t+\Delta t}- S_t = \mu S_t \Delta t + \sigma S_t \sqrt{\Delta t} Z_t $$ 和 $ Z_t \sim \mathcal{N}(0,1) $
您在您的情況下所做的是使用 SDE 的精確解來模擬兩點之間的運動 $ S $ .
本質上，你用這兩種方法做同樣的事情。
實際上，如果你選擇一個 $ \Delta t $ 足夠小，你幾乎沒有區別。
您的問題可以反過來：如果您可以使用離散版本簡單地模擬路徑，您為什麼要關心求解 SDE 以獲得封閉式公式？