赫斯頓模型的模擬，最好的參考？
我目前正在試驗各種模擬標準赫斯頓模型的實現。 $$ \begin{eqnarray*} dS_t &=& \mu S_t , dt + \sqrt{v_t} \cdot S_t , dW_t^S \ dv_t &=& \kappa(\theta - v_t) , dt + \xi \cdot \sqrt{v_t} , dW_t^v, \end{eqnarray*} $$ 其中布朗運動之間的相關性為 $ \rho $ .
然而，我正在努力尋找一個體面的參考文章，其實現對於所有參數值的選擇都是準確的。
例如，我已經實現了 J. Zhu 的文章“A Simple and Exact Simulation Approach to Heston Model”中描述的方法。這具有非常容易實現和理解的優點。即使對於較高的相關參數值，它也能給出良好的結果。它也非常快。
然而，當“vol-vol”， $ \xi $ , 大且 Feller 條件 $ 2 \kappa \theta > \xi^2 $ 被大幅度違反，方法失敗。一般而言，期權價格似乎變得太大。發生這種情況的原因並不難理解。朱的方法是基於波動過程的矩匹配過程。什麼時候 $ \xi $ 太大，您需要解決的方程使矩匹配缺乏解決方案。作者通過將負值設置為零來“解決”這個問題。如果值只是略微負，則其效果應該不會太差，但對於較大的負值，誤差應該是顯著的，這正是較大的 $ \xi $ .
赫斯頓方法模擬的目前最新技術是什麼？有什麼好的參考資料可以參考嗎？對我來說最重要的是該方法至少產生了相當準確的結果。在那之後，當然優選更快的方法。實施的簡單性排在第三位。
此連結為 Heston 提供了幾種離散化方案： https ://www.degruyter.com/view/journals/math/15/1/article-p679.xml
例如，米爾斯坦很受歡迎。
Heston 模型的 Euler 離散化方案的替代方案是二階離散化方法。風險中性測度下的SDE體系 $$ \begin{eqnarray*} dS_t &=& r S_t , dt + \sqrt{v_t} S_t , dW_t^S \ dv_t &=& \kappa(\theta - v_t) , dt + \sqrt{v_t}(\xi_1, dW_t^S+\xi_2 , dW_t^v), \end{eqnarray*} $$ 離散化如下： $$ \begin{eqnarray*} dS_{i+1} &=& S_i\left(1+rh+\sqrt{v_i}\Delta W^S\right)+\frac{1}{2}r^2S_ih^2 \ &+&\left(\left[r+\frac{\xi_1-\kappa}{4}\right]S_i\sqrt{v_i}+\left[\frac{\kappa\theta}{4}-\frac{\xi^2}{16}\right]\frac{S_i}{\sqrt{v_i}}\right)\Delta W^Sh \ &+&\frac{1}{2}S_i\left(v_i+\frac{\xi_1}{2}\right)((\Delta W^S)^2-h)+\frac{1}{4}\xi_2S_i(\Delta W^v\Delta W^S+\varepsilon) \ v_{i+1} &=& \kappa\theta h+(1-\kappa h)v_i + \sqrt{v_i}(\xi_1\Delta W^S+\xi_2\Delta W^v)-\frac{1}{2}\kappa^2(\theta-v_i)h^2 \ &+&\left(\left[\frac{\kappa\theta}{4}-\frac{\xi^2}{16}\right]\frac{1}{\sqrt{v_i}} - \frac{3\kappa}{2}\sqrt{v_i}\right)(\xi_1\Delta W^S+\xi_2\Delta W^v)h \ &+&\frac{1}{2}\xi_1^2((\Delta W^S)^2-h)+\frac{1}{4}\xi_2^2((\Delta W^v)^2-h)+\frac{1}{2}\xi_1\xi_2\Delta W^S\Delta W^v \end{eqnarray*} $$ 在哪裡 $ \xi^2 = \xi_1^2+\xi_2^2 $ 和 $$ \varepsilon = \begin{cases} h, & \mbox{with prob. } \frac{1}{2} \ -h, & \mbox{with prob. } \frac{1}{2} \end{cases} $$ $ \varepsilon $ 和 $ \Delta W^S $ 獨立。可以考慮取絕對值 $ v_i $ .
例如，可以通過固定來使用此方案 $ h=\frac{T}{n} $ 具有各種樣本量 $ n $ 和 1e+06 重複每個 $ n $ . 眾所周知，這種方法會產生較小的估計偏差，但收斂性稍差
以下是對 Heston 模型的最新模擬方案的一些參考。粗略地說，有兩行算法：時間離散化與精確方案。
時間離散方案：
- Andersen (2008) 的量化寬鬆方法
- Tse & Wan (2013) 的逆高斯近似
在這一系列方法中，跳躍一步的計算成本很便宜，但是您必須進行多次跳躍（使用小時間步）才能控制錯誤。因此，如果您需要價格時間序列（即路徑），就像定價路徑相關（例如亞洲或障礙）期權一樣，這些更合適。
有關性能比較，請參見 Van Haastrecht & Pelsser (2010)。他們提出了自己的方法，但結論是 QE 方法實際上是最好的。Tse & Wan (2013) 相對較新。一跳的成本比 QE 高，但更準確，所以不需要像 QE 那樣多跳。因此，總體成本可以更低。
精確的模擬方案：
- Broadie & Kaya (2006) 的原始精確模擬方案。
- Glasserman & Kim (2011) 的 Gamma 系列擴展。
當您只關心終端價格（而不是路徑）時，這些更適合。在這些方法中，您可以跳過任何時間步長，儘管計算成本很高。關於這一行，請閱讀我的另一篇文章
參考：
- Andersen L (2008) Heston 隨機波動率模型的簡單有效模擬。 計算金融雜誌11：1-42。https://doi.org/10.21314/JCF.2008.189
- Broadie M, Kaya Ö (2006)隨機波動率和其他仿射跳躍擴散過程的精確模擬。 運籌學五十四：217—231。https://doi.org/10.1287/opre.1050.0247
- Glasserman P, Kim KK (2011) Heston 隨機波動率模型的 Gamma 擴展。 金融史 15：267-296。https://doi.org/10.1007/s00780-009-0115-y
- Tse ST, Wan JWL (2013)採用逆高斯近似的 Heston 模型的低偏差模擬方案。 量化金融13：919-937。https://doi.org/10.1080/14697688.2012.696678
- Van Haastrecht A, Pelsser A (2010) Heston 隨機波動率模型的高效、幾乎精確的模擬。 Int J Theor Appl Finan 13：1-43。https://doi.org/10.1142/S0219024910005668。