兩個相關的布朗運動

我們可以得到兩個離散的布朗運動，這是真的嗎*（見這裡，腳註 2，p.22 / p.14，沒有證據）* $ W_t^1, W_t^2 $ 有相關性 $ \rho $ 通過做

$$ d W_t^1 \sim \mathcal N(0,\sqrt{dt}) $$ $$ d W_t^2 = \rho, d W_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} dZ_t $$和 $ dZ_t \sim \mathcal N(0,\sqrt{dt}) $ ? 如果這是真的，我們可以很容易地在 Python 中模擬它們，方法是：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 1000000; dt = 0.01; rho = 0.8
dW1 = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n)
dW2 = rho * dW1 + np.sqrt(1 - rho **2) * np.random.normal(0, np.sqrt(dt), n)
W1 = np.cumsum(dW1)
W2 = np.cumsum(dW2)
plt.plot(W1)
plt.plot(W2)
plt.show()

它是否正確？

首先，您需要將公式更正為： $$ W_t^2 = \rho W_t^1 + \sqrt{1-\rho^2} Z_t, $$ 在哪裡 $ Z_t $ 是一個獨立於 $ W_t^1 $ 如果您計算變異數和共變異數，那麼您會發現它是正確的： $$ V[W_t^1] = t $$ 和 $$ V[W_t^2] = \rho^2 V[W_t^1] + (1-\rho^2) V[Z_t] = \rho^2 t + (1-\rho^2) t = t, $$ 這是所需的變異數。

對於你得到的共變異數 $$ Cov[W_t^1,W_t^2] = \rho Cov[W_t^1, W_t^1] + \sqrt{1-\rho^2} Cov[W_t^1, Z_t] $$ 這給出了（因為 $ Cov[W_t^1, W_t^1] = V[W_t^1] $ 並且獨立於 $ W_t^1 $ 和 $ Z_t $ : $$ Cov[W_t^1,W_t^2] = \rho t + 0, $$ 並註意到 $ \sqrt{V[W_t^1]} = \sqrt{V[W_t^2]} = \sqrt{t} $ 我們得到 $$ Cor[W_t^1,W_t^2] = \frac{Cov[W_t^1,W_t^2]}{\sqrt{V[W_t^1]} \sqrt{V[W_t^2]} } = \frac{\rho t}{t} = \rho. $$

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/24472