如何估計真實世界的機率
在金融領域，風險中性定價允許我們使用無風險利率作為標的資產的預期回報來估計衍生品的公允價值。
然而，現實世界中金融資產的行為可能與風險中性環境中使用的演化大不相同。
例如，如果我想估計股票資產達到某些門檻值的真實機率，可以使用哪些模型和校準技術？
特別是，在估計現實世界的機率時可能出現的一些問題是：
- 校準：是否應根據目前市場價格校準現實世界的機率，或者是否應使用替代的歷史數據進行此類估計？
- 無套利條件：它們是否可以放寬，或者它們仍然在評估現實世界的機率中發揮作用？
- 預期回報：假設我已經估計了一項資產的預期回報 $ \mu $ ，結合廣泛使用的進化模型（例如幾何布朗運動）的真實世界估計的準確度，以及使用 $ \mu $ 而不是無風險利率 $ r $ ?
根據評論，我理解為了估計現實世界的機率：
- 我應該使用預期收益而不是無風險利率。
- 資產演化仍應尊重無套利條件（即：現實世界的動態仍應再現普通期權的目前價格）。
但是，如果我們只是使用 $ \mu $ 代替 $ r $ ，標的資產行為可能與觀察到的期權價格不一致。例如，如果我們只是改變 $ r $ 經過 $ \mu $ （和 $ \mu>r $ ) 標的資產動態將導致看漲價格高於其目前市場價格，並將價格低於其市場價格。
因此，除了使用預期收益之外，還可能需要進行哪些其他調整來估計現實世界的機率？
任何關於現實世界估計的論文或參考資料將不勝感激。
風險中性措施 $ \mathbb{Q} $ 是一種源自單一價格定律的數學結構，也稱為無風險套利原則，您可能已經聽說過以下術語：“金融市場沒有免費的午餐”。
該定律是證券相對估值的核心，請參閱Emmanuel Derman的這篇非常好的論文（“Metaphors, Models & Theories”，2011 年）和部分討論。
下面，為了簡單起見，假設
- 無風險資產的存在；
- 確定性和恆定利率，無風險利率 $ r $ ;
- 沒有股息，也沒有額外的股權融資成本。
如何關聯 $ \mathbb{Q} $ 到 $ \mathbb{P} $ : 一些有用的概念
風險中性措施 $ \mathbb{Q} $ 是一個機率測度，它等價於 $ \mathbb{P} $ 在這種情況下，以無風險利率貼現的資產價格（我寧願說由上市證券組成的自籌資金投資組合的價格是完全嚴格的）結果是鞅。
- 如果假設現實世界中沒有免費的午餐（因此在 $ \mathbb{P} $ )，那麼上面的定義（更具體地說是“等價”部分）表明，在 $ \mathbb{Q} $ 要麼。為了說服自己，請查看此SE 問題的公認答案。這回答了您關於無套利條件的問題。
- 鞅屬性很方便，因為它允許我們將資產價格表示為以我們目前擁有的資訊為條件的預期，這看起來既直覺又自然。確實從定義如果 $ X_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -馬丁格爾然後 $$ X_0 = E^{\mathbb{Q}}[X_t \vert \mathcal{F}_0] $$
- 形容詞風險中性來自這樣一個事實，即使用複制參數（線性合約是靜態的，其他大多數是動態的）並在沒有免費午餐（+市場完整性、連續交易、無摩擦）的假設下，可以表明股票的真實表現只是從期權估值問題中消失了。風險厭惡因此消失，只有無風險利率 $ r $ 遺跡。這正是 Black-Scholes-Merton 所展示的，並首先為他們贏得了諾貝爾獎，見下文。
一個簡單的例子：布萊克-斯科爾斯模型
假設股價 $ S_t $ 遵循GBM下 $ \mathbb{P} $ $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma dW_t^{\mathbb{P}}\ \ \ (1) $$ 在哪裡 $ \mu $ 是股票的預期表現和 $ \sigma $ 對數回報的年化波動率。這個等式描述了現實世界中股票的動態。
考慮或有債權的定價（我們在現實世界中仍處於低水平） $ V_t = V(t,S_t) $ 其中我們唯一知道的是它付出了 $ \phi(S_T) $ 到它的持有人時 $ t=T $ （通用歐式選項）。現在，考慮以下自籌資金組合：
$$ \Pi_t = V_t - \alpha S_t $$
使用伊藤引理和自籌資金的財產收益率： $$ \begin{align} d\Pi_t &= dV_t - \alpha dS_t \ &= \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right) dt + \left( \frac{\partial V}{\partial S} - \alpha \right) dS_t\ \end{align} $$
Black-Scholes-Merton 的原始論點是，如果我們可以動態地重新平衡投資組合 $ \Pi_t $ 使持股數量不斷調整至等於 $ \alpha = \frac{\partial V}{\partial S} $ ，那麼投資組合 $ \Pi_t $ 將以一個確定的利率漂移，由於沒有套利機會，該利率應該與無風險利率相匹配。
把它寫成 $ d\Pi_t = \Pi_t r dt $ 並記住我們選擇了 $ \alpha = \frac{\partial V}{\partial S} $ 為了得出這個結論，我們有
$$ \begin{align} &d\Pi_t = \Pi_t r dt \ \iff& \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \sigma^2 \right) dt = \left( V_t - \frac{\partial V}{\partial S} S_t \right) r dt \ \iff& \frac{\partial V}{\partial t}(t,S) + r S \frac{\partial V}{\partial S}(t,S) + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t,S) - rV(t,S) = 0 \end{align} $$ 這就是著名的布萊克-斯科爾斯定價方程。現在，Feynmann-Kac定理告訴我們，上述 PDE 的解可以計算為： $$ V_0 = E^\mathbb{Q}[ e^{-rT} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 ] $$ 在某種程度下 $ \mathbb{Q} $ $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$ 這表明 $$ \frac{V_t}{B_t} \text{ and } \frac{S_t}{B_t} \text{ are } \mathbb{Q}\text{-martingales} $$ 和 $ B_t = e^{rt} $ 代表我們在介紹中提到的無風險資產的價值。注意如何 $ \mu $ 已經完全從定價等式中消失了。
因為這個 Feynman-Kac 公式很像一個魔術，讓我們從更數學的角度來放大度量的變化（上面確實是金融論點……至少是為了推導定價方程，而不是為了表達它鞅形式的解）。
從…開始 $ (1) $ ，讓我們定義數量 $ \lambda $ 作為我們股票無風險利率的超額回報，以波動率單位表示（即其夏普比率）： $$ \lambda = \frac{\mu - r}{\sigma} $$ 將其插入 $ (1) $ 給出： $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma (dW_t^{\mathbb{P}} + \lambda dt) $$ 現在Girsanov 定理告訴我們，如果我們將測度變化的 Radon-Nikodym 定義為 $$ \left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \right\vert_{\mathcal{F}_t} = \mathcal{E}(-\lambda W_t^{\mathbb{P}}) $$ 然後過程 $$ W_t^{\mathbb{Q}} := W_t^{\mathbb{P}} - \langle W^{\mathbb{P}}, -\lambda W^{\mathbb{P}} \rangle_t = W_t^{\mathbb{P}} + \lambda t $$ 將作為一個 $ \mathbb{Q} $ -布朗運動，因此我們可以寫： $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t^{\mathbb{Q}} $$
好吧，這對你來說可能比以前更神奇，但不要擔心背後有嚴格的數學處理。
無論如何，編寫和操作 Radon-Nikodym 導數的一個有趣特徵是人們最終可以證明：
$$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ \left. \frac{V_T}{B_T} \right\vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ \left. \frac{V_T}{B_T} \mathcal{E}(-\lambda W_T^\mathbb{P}) \right\vert \mathcal{F}_0 \right] $$
我在條件期望中使用了貝氏規則，其中 $$ X := V_T/B_T,\ \ \ f := \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \vert \mathcal {F}_T = \mathcal{E}(-\lambda W_T^{\mathbb{P}}),\ \ \ E^\mathbb{P}[f \vert \mathcal{F}_0 ] = 1 $$
上面的結果非常有趣，在這裡可以重新表示為
$$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ e^{-rT} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ e^{-\left(r+\frac{\lambda^2}{2}+\frac{\lambda}{T} W_T^{\mathbb{P}}\right)T} \phi(S_T) \vert \mathcal{F}_0 \right] $$
這表明，在 BS 假設下：
- 期權價格可以計算為期望值 $ \mathbb{Q} $ 在這種情況下，我們以無風險利率折現現金流。
- 期權價格也可以計算為期望值 $ \mathbb{P} $ 但是這一次我們需要根據我們的風險厭惡來折現現金流，這通過市場風險溢價來體現 $ \lambda $ （這取決於 $ \mu $ ).
這回答了你的問題：
因此，除了使用預期收益之外，還可能需要進行哪些其他調整來估計現實世界的機率？
您需要使用隨機折扣因子來解釋風險規避，見上文和下文的進一步說明。
假設 BS 估計現實世界的機率
你在這裡有不同的可能性。想到的第一個想法是將您的擴散模型校準為觀察到的時間序列。這樣做時，你希望得到一個估計 $ \mu $ 和 $ \sigma $ 在 GBM 案例中。現在鑑於我們之前所說的，您在定價時必須非常小心 $ \mathbb{P} $ : 你不能以無風險利率折現。還獲得了統計上顯著的估計 $ \mu $ （以及潛在的股權風險溢價）可能不像看起來那麼容易看到這裡的討論
當您選擇除 BS 以外的其他型號時，情況會更複雜
關係： $$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ \frac{V_T}{B_T} \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ \frac{V_T}{B_T} f \vert \mathcal{F}0 \right] $$ 和 $$ f = \left. \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}} \right\vert{\mathcal{F}_T} $$ 將保持（在溫和的技術條件下）。
與無風險貼現因子相比 $$ DF (0,T):=1/B_T $$ 數量 $$ SDF (0,T):=f/B_T $$ 最出名的是隨機折扣因子（也許您已經聽說過 SDF 模型，正是這樣），我們可以在不失一般性的情況下編寫：
$$ V_0 = E^{\mathbb{Q}} \left[ DF (0,T) V_T \vert \mathcal{F}_0 \right] = E^{\mathbb{P}} \left[ SDF (0,T) V_T \vert \mathcal{F}_0 \right] $$
問題是，根據您使用的模型假設，您不能總是有一個簡單和/或獨特的形式 $ f $ （因此 $ SDF (0,T) $ ) 就像以前在 BS 中的情況一樣。
對於不完整的模型（即包括跳躍和/或隨機波動等的模型）尤其如此。所以現在你明白了為什麼當我們需要模型來為期權定價時，我們直接在下面校準它們 $ \mathbb{Q} $ 而不是在下觀察到的時間序列 $ \mathbb{P} $ .