定價 可取消掉期
考慮第一個假設，交換。甲方每半年支付 6 個月的 Libor。甲方 2. 支付[Math Processing Error] $ 1+3*(\frac{Index_\color{red}{T}}{Index_0}-1) $ 只有在成熟時。假設名義值為 1。 $ Index_t $ 是一些公開可用指數的收盤價。
第 2 方可以隨時選擇 $ t < T $ ， 支付[Math Processing Error] $ 1+3*(\frac{Index_\color{red}{t}}{Index_0}-1) $ 並終止契約。
我將如何為這份契約定價？是否恰當地說，libor 腿將在重置日期按面值定價，而與指數相關的腿，在時間[Math Processing Error] $ s $ 將被估價 [Math Processing Error] $ 1+3*(\frac{Index_\color{red}{s}}{Index_0}-1) $ ?
對我來說，這張紙條可以隨時結束，這使它成為一種交換，我們不能分開兩條腿。何時結束合約的最佳選擇將取決於指數的價值和 Libor 的價值。假設我們沒有任何關於指數的市場數據，例如掉期交易量等，那麼我們將如何為掉期定價？
現在考慮第二個假設問題。只考慮交換的第二條腿。您可以選擇時間[Math Processing Error] $ s $ 在哪裡 $ 0 \leq s \leq T $ , 你付錢的地方[Math Processing Error] $ 1+3*(\frac{Index_\color{red}{s}}{Index_0}-1) $ . 我如何選擇最佳時間以及該契約在某個時間的價值是多少[Math Processing Error] $ t_1 $ ?
我們可以將收益簡化為 $ \frac{3}{Index_0}(Index_t - \frac{2*Index_0}{3}) $ ,
這就像 $ scaling factor*(S_t-K) $
假設我們固定鍛煉時間，你可以選擇支付K和接收的時間[Math Processing Error] $ S_t $ 只是 $ t=T $ 那麼這變成了一份遠期合約和一份遠期合約的價格， $ t=t_1 $ 肯定不是[Math Processing Error] $ scalingfactor*(S_{t_1}-K) $ .
在我們的契約中，我們可以隨時選擇“行使”或支付這筆款項 $ t \in (0,T) $ . 這為該合約的價值增加了更多的選擇權，其價值應高於遠期合約的價值。我應該如何定價？
關於第二個問題，您可以選擇支付 $ (S_t - K) $ 在[Math Processing Error] $ t $ 或者 $ (S_T - K) $ 在]t[Math Processing Error] $ T $ . 價值在[Math Processing Error] $ t $ 決定現在付款還是以後付款是：
價值在[Math Processing Error] $ t $ 支付的 $ S_t - K $ 在]t[Math Processing Error] $ t $ - 價值在[Math Processing Error] $ t $ 不付錢 $ S_T - K $ 在[Math Processing Error] $ T $ .
$$ = -(S_t - K) + e^{-r(T-t)} (F(t,T) - K) $$ 在哪裡 $ F(t,T) $ 是指數的遠期價格。
現在 $ F(t,T) = S_t e^{(r-d)(T-t)} $ 在哪裡[Math Processing Error] $ d $ 是指數的 div 收益率
所以我們有
$$ -(S_t - K) + e^{-r(T-t)} (S_t e^{(r-d)(T-t)} - K) $$ 結果出來
$$ S_t (e^{-d(T-t)} - 1) + K(1-e^{-r(T-t)}) $$ 第一項為負數，表示您必須在[Math Processing Error] $ t $ 和[Math Processing Error] $ T $ 如果你早鍛煉。第二項是正數（假設利率為正），表示獲得的價值[Math Processing Error] $ K $ 早些時候。因此，我們有一個權衡。如果 div 為零且利率為正，則您總是儘早鍛煉。如果利率是負數，你永遠不會提前鍛煉。當利率高且為正且股息為零時，儘早行使最大價值。
對問題 2 的另一種看法：契約對您的價值將由[Math Processing Error] $ V_0 $ :
[Math Processing Error]$$ \begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\mathbb{E}^Q\left[e^{-\int_0^{\tau}r(s)ds}(S_\tau-K)\right] \[6pt] &=\min_{0\leq\tau \leq T}\left{e^{-\int_0^{\tau}d(s)ds}S_0-e^{-\int_0^{\tau}r(s)ds}K\right} \end{align} $$ 假設股息收益率為零且無風險利率恆定：
[Math Processing Error]$$ \begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\left{S_0-e^{-r \tau}K\right} \[6pt] &=1_{{r>0}}\left(S_0-K\right)+1_{{r<0}}\left(S_0-e^{-rT}K\right) \end{align} $$ With stochastic rates [Math Processing Error] $ - $ letting [Math Processing Error] $ P_{0,t} $ be the price of a zero-coupon bond with maturity [Math Processing Error] $ t $ :
[Math Processing Error]$$ \begin{align} V_0&=\min_{0\leq\tau \leq T}\left{S_0-P_{0,\tau}K\right} \[6pt] & \Leftrightarrow \max_{0\leq\tau \leq T} P_{0,\tau} \end{align} $$ Conclusions are the same as @dm63: with positive interest rates you exercise at contract inception [Math Processing Error] $ 0 $ whereas with negative rates you exercise at maturity [Math Processing Error] $ T $ .