利率衍生品定價
在秒。3.2這裡，曼德爾推算價格 $ P $ 利率衍生品 $ r $ 服從形式的偏微分方程$$ \frac{\partial P}{\partial t}+\frac{1}{2}\beta^{2}\frac{\partial^{2}P}{\partial r^{2}}+\left(\alpha-\beta\lambda\right)\frac{\partial P}{\partial r}-rP=0. $$（這個模型有名字嗎？）我在這裡嘗試一個解決方案（對於 $ \alpha,,beta $ 是恆定的），因為我在引用的文本 Shreve 2010 中沒有找到。
我從傅立葉變換開始。 $ P(t,,r)=\int_{\Bbb R}\widetilde{P}(t,,k)e^{ikr}dk $ 所以 $ \int_{\Bbb R}f(t,,k)e^{ikr}dk=0 $ 和$$ f:=\frac{\partial\widetilde{P}}{\partial t}-\frac12\beta^2k^2\widetilde{P}+(\alpha-\beta\lambda)ik\widetilde{P}-i\frac{\partial\widetilde{P}}{\partial k}. $$可分離的解決方案 $ \widetilde{P}=K(k)T(t) $ 的 $ f=0 $ 給出常數 $ \rho:=\frac1T\frac{\partial T}{\partial t} $ , 從何而來$$ \frac1K\frac{\partial K}{\partial k}=(\alpha-\beta\lambda)k+i\left(\frac12\beta^2k^2-\rho\right). $$自從 $ \ln K $ 是立方在 $ k $ ， 我預計 $ P $ 不是分析的 $ r $ . 這個模型是用數值方法解決的嗎（尤其是當 $ \alpha,\beta $ 是函式 $ t,,r $ )? 如果有，推薦哪些？
曼德爾假設 $ \alpha,\beta $ 是函式 $ t $ 和 $ r $ 和風險的市場價格 $ \lambda $ 是一個函式 $ t,. $ 該模型是馬爾可夫短期利率模型。除此之外，這個名字太籠統了。以下命名模型是特殊情況： $$ \begin{align} &\alpha(t,r(t)) & \beta(t,r(t)) & & \text{ Name }\[3mm] \hline &a(t)(\theta(t)-r(t))&\sigma(t)& & \text{ Hull-White }\[3mm] &a(t)(\theta(t)-r(t))&\sigma(t)\sqrt{r(t)}& &\text{ Cox-Ingersoll-Ross }\[3mm] &a(t)(\theta(t)-\log r(t)),r(t)& \sigma(t),r(t)& &\text{ Black-Karasinski} \end{align} $$ 已知 CIR 和 HW 模型對零息債券有半顯式解 $ P(t,r(t)),. $ 如果你想 $ P $ 要成為利率的任意導數，總是沒有希望找到半顯式的解決方案。