使用 Libor 市場模型分析定價互換
在最近的一次採訪中，我被問到以下問題：“ (i) 用遠期 Libor 利率表示遠期互換利率。(ii) 將伊藤引理應用於該表達式以推導出遠期互換利率的過程。(iii) 最後, 使用這個表達式來為掉期期權定價”。我無法完全弄清楚當場的完整問題，並想在這裡解決它，看看如何正確解決它。
**(i) 遠期掉期利率：**這是直截了當的，這裡沒有什麼複雜的（基礎掉期有 n 年到期，固定相對於 6 米浮動）
$$ r_T(t)= \frac{\sum_{j=0}^{2n-1}\tau_j L_j\left(t\right) Df(T+h_{j/2})}{\sum_{i=1}^{n}*Df(T+h_i)} $$
以上， $ r_T(t) $ 是截至時間的遠期掉期利率 $ t $ ，其中相應的交換集在時間 $ T\geq t $ . $ L_j(t) $ 是時間的“第j個”前向Libor“ $ t $ “，時間設定 $ T+h_{j/2} $ 並在六個月後到期。 $ \tau_j $ 是年度分數。 $ DF(T+h_i) $ 是特定時間點的折扣因子（即 $ DF(T+h_i)=P(t,T+h_i) $ ， 和 $ P(t,T+h_i) $ 是一種零息債券，到期時間為 $ T+h_i $ ）。每個遠期 Libor 利率遵循對數正態擴散：$$ dL_j=\mu_j L_j dt+\sigma_j L_j dW_j $$
**(ii) 伊藤引理：**我們需要取一階和二階導數 $ r_T(t) $ 關於每個遠期Libor $ L_j(t) $ , 也關於時間。開始：$$ \frac{\partial r}{\partial L_j}=\frac{\sum_{j=0}^{2n-1}\tau_j Df(t_{j/2})}{\sum_{i=1}^{10}*Df(t_i)}, \frac{\partial^2 r}{\partial L_j^2}=0, \frac{\partial r}{\partial t} = 0 $$
好消息，一階導數是常數，二階導數為零，時間導數也為零，因此：
$$ r(L_1, …, L_j, …,L_n)=r_0+\int_{s=0}^{s=t} \left( \sum_{j=0}^{2n-1} \frac{\partial r}{\partial L_j} * L_j(s) \mu_j \right) dt+\+\sum_{j=0}^{2n-1}\left(\int_{s=0}^{s=t} \left(\frac{\partial r}{\partial L_j}L_j(s) \sigma_j \right) dW_j(s) \right) $$
誰能仔細檢查我是否在上面正確應用了 Ito 引理？
**(iii) Swaption Pay-off：**我們現在對評估 Swaption 表示感興趣 $ C $ （在哪裡 $ N_j(t) $ 是我們選擇的計價器& $ C(r_T(t_0),T_1) $ 是截至時間的值 $ t_0 $ 交換到期的時間 $ T_1\leq T $ ):
$$ \frac{C(r_T(t_0),T_1)}{N_j(t_0)}=E^{N_j}\left[\frac{\left(r_T(T_1)-K,0 \right)^{+}}{N_j(T_1)} \right] $$
問題 1：Ito 引理在 (ii) 部分中的應用是否正確得出正確的方程 $ r(t) $ ?
問題2：我想交換公式，與 $ r(t) $ 如第 (ii) 部分所推導出的，無法解析求解 - 對嗎？
Vanilla Swap 的現值（使用 Vanilla 這個詞是因為我正在考慮最簡單的掉期，即名義上等於 1、連續的時間間隔、恆定利率等）由下式給出：
$$ \begin{align} V_s(t) &= \mathbb{E}t^Q \left[ \sum{i=1}^N D(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(T_i, T_i, T_{i+1}) - k) \right] \end{align} $$
在哪裡 $ T $ 描述了定價和付款的期限結構，即 $ 0 \leq T_1 \leq T_2, \dots, T_{N+1} $ , $ \tau_i = T_{i+1} - T_i $ , $ D(t, T) $ 是折扣因子和 $ L $ 是 Libor 即期匯率。
讓我們回想一下，遠期 Libor 利率是特定度量下的鞅：
$$ L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \quad \text{with } t \leq T. $$
現在，在掉期估值中執行度量變化並使用上面給出的結果，我們得到：
$$ V_s(t) = \sum_{i=1}^N P(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(t, T_i, T_{i+1}) - k). $$
遠期掉期利率的定義使得掉期值可以計算為：
$$ V_s(t) = A(t) \cdot ( S(t) - k) $$
在哪裡 $ A(t) $ 代表年金和 $ S(t) $ 遠期互換利率。經過一些代數，你會得到：
$$ S(t) = \frac{P(t, T_1) - P(t, T_N)}{\sum_{n=1}^{N} \tau_n \cdot P(t, T_{n+1})} = \frac{P(t, T_1) - P(t, T_N)}{A(t)} \quad \text{with } t < T_1, $$
或者，等效地：
$$ S(t) = \frac{\sum_{n=1}^N \tau_n \cdot P(t, T_{n+1}) \cdot L(t, T_n, T_{n+1})}{\sum_{n=1}^{N} \tau_n \cdot P(t, T_{n+1})} \quad \text{with } t < T_1, $$
現在，了解 Libor 的動態 $ dL(t, T_n, T_{n+1}) $ 由 Libor 市場模型給出，您可以應用 Ito 引理並找到動態 $ dS(t) $ .
現在，假設在歐式互換中，持有人有權進入之前的互換 $ T_1 $ . 它當時的價值 $ t = T_1 $ 是（誰）給的：
$$ V_{es}(T_1) = \max(V_s(T_1), 0) = \left( V_s(T_1) \right)^+. $$
然後，它的時間值 $ t < T_1 $ 是（誰）給的：
$$ \begin{align} V_{es}(t) &= \mathbb{E}t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot V{es}(T_1) \right]\ V_{es}(t) &= \mathbb{E}t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot \left( V_s(T_1) \right)^+ \right]\ V{es}(t) &= \mathbb{E}t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot \left( A(T_1) \cdot ( S(T_1) - k) \right)^+ \right]\ V{es}(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot A(T_1) \cdot \left( S(T_1) - k \right)^+ \right]\ \end{align} $$
現在，切換到年金措施（也稱為交換措施 $ Q^A $ )，交換價值由下式給出：
$$ V_{es}(t) = A(t) \cdot \mathbb{E}_t^A \left[ \left( S(T_1) - k \right)^+ \right]\ $$
可以解決最後一個期望，因為它是具有掉期遠期利率的看漲期權 $ S $ 作為底層證券（例如使用 Black 模型）。唯一剩下的是 Swap 措施下的 Swap 利率動態 $ Q^A $ . 掉期利率是該衡量標準下的鞅，因為它是通過減去兩個計價縮水資產得出的，即 $ P(t, T_1)/A(t) $ 和 $ P(t, T_N)/A(t) $ . 的動態 $ S(t) $ 根據下 $ Q^A $ 在 Andersen 和 Piterbarg 利率建模一書中的方程（14.30）中介紹瞭如何測量和使用 Libor 市場模型。由於您沒有考慮 Libor 市場模型的隨機波動率模型，因此可以簡化很多。我會盡快這樣做並編輯我的答案。