風險中性估值、漂移和校準
讓我們考慮像 Vasicek 這樣的定價模型。
顯然，如果您根據市場價格校準衍生品定價模型，這將為您提供風險中性參數。我不清楚為什麼這肯定是風險中性的。請參見市場校準下的 atmif.com/papers/rn.pdf。“文獻中的許多作者只是聲稱他們在進行市場校準時使用了“風險中性”定價措施。” 他們怎麼能這麼說呢？
如果您需要您的定價模型無套利以提供風險中性度量，那麼您是否只需要無套利的模型，然後您只需將其校準到市場就完成了嗎？當您查看文獻時，您會從一些潛在動力學模型開始，然後應用 Girsanov 定理以實現風險中性。您是在校準模型的風險中性版本還是將原始模型推向市場？
我認為要保持風險中性，它必須以無風險利率漂移 $ r dt $ （加上一個 $ \sigma dW $ 學期）。然而，衍生品定價模型幾乎總是有非零漂移。
我在這裡不明白什麼？
您的問題有兩個部分，我嘗試分別回答。第一個問題是關於校準實際上是什麼，而第二個問題涉及風險中性定價。
例如，我們可以使用任何模型。我不斷引用Heston (1993)的隨機波動率模型作為股票期權的一個例子。任何想法同樣適用於其他模型或資產類別（想想利率衍生品和短期利率模型）。股票價格的赫斯頓模型 $ S_t $ 讀作 $$ \begin{align*} \text{d}S_t&=\mu S_t\text{d}t+\sqrt{v_t}S_t\text{d}W_S, \ \text{d}v_t&= \kappa(\theta-v_t)\text{d}t+\xi\sqrt{v_t}\text{d}W_v, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \text{d}W_S\text{d}W_v=\rho\text{d}t $ . 因此，有五個模型參數（ $ \mu,\kappa,\theta,\xi,\rho $ ).
估計和校準
估計找到股票收益的真實分佈；校準旨在參數化風險中性分佈。為此，估計使用歷史觀察，而校準使用觀察到的市場價格。估計通常用於風險管理（例如，風險價值），而校準用於定價/對沖/交易衍生品。
讓我們從估計開始：獲取標準普爾 500 指數的歷史回報併計算赫斯頓模型的（對數）概似函式，以找到最有可能導致給定股票回報樣本的參數（這稱為最大概似估計）。泛化是GMM，它將數據中的樣本矩與模型隱含的矩進行比較，並找到使兩者之間的差異最小化的參數。直覺地說，您尋找的參數使得模型的模擬產生的樣本路徑看起來與您在金融市場中觀察到的實際數據非常相似。特別是，這包括資產價格以相同的速度增長 $ \mu $ 這反映了該資產的系統性風險。您可以使用這樣的模型進行預測。
讓我們轉向校準：採用標準普爾普通看漲和看跌期權的目前市場價格。使用 Heston 模型中期權價格的封閉式解決方案，**您現在尋求模型參數，以最小化觀察到的市場價格和隱含模型價格之間的（平方）差異。**這一次，您不必關心歷史回報數據。您只取昨天的期權價格，並將您的模型與這些價格相匹配。如果您校準短期利率模型，您可以使用零債券、債券期權、上限等的價格。您選擇的校準工具應與您對模型的預期應用相匹配。因為這些工具是使用風險中性框架定價的（見下文），校準參數對應於 $ \mathbb{Q} $ 假設資產以速率增長的度量 $ r $ （並不是 $ \mu $ ）。因此，這些參數不能用於預測！相反，這些參數用於評估其他（複雜）導數。
兩點是有序的
- 有兩種不同的時間範圍： 估計需要（長）時間序列的回報。校準需要一天的價格數據。
- 在實踐中，當一個人想要在實踐中進行估計或校準時，有很多字幕：如何離散連續時間模型？什麼時刻適合 GMM？如何權衡不同的市場價格？如何清理期權數據？校準價格或隱含波動率等。
定價和風險中性分佈
期權定價（幾乎）總是在風險中性（ $ \mathbb{Q} $ ) 測量。歐式看漲期權的價值計算為貼現預期收益 $$ \begin{align*} C=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[\max{S_T-K,0}]. \end{align*} $$
風險中性分佈 ( $ \mathbb{Q} $ ) 是必要的，這樣我們才能以無風險利率貼現 $ r $ （而不是擔心嵌入的風險溢價 $ \mu $ ）。這個想法是 $ \mathbb{P} $ 分佈（即實際股票價格變動）包含這些極難辨識的風險溢價。風險中性定價框架允許我們避免所有這些，並在假設每個人都是風險中性的情況下得出相同的期權價格（我們假設 $ \mu=r $ ).
關鍵是我們不需要知道 $ \mu $ 為期權定價。當我們校準模型時，我們會盡量減少市場價格和模型價格之間的差異。這些模型價格是使用風險中性框架計算的（所有期權價格都是）。因此，您只能從期權價格中恢復風險中性分佈，另見Breeden 和 Litzenberger (1978)。但這沒問題。我們只需要這種風險中性分佈來評估衍生品。
這 $ \mathbb{P} $ 和 $ \mathbb{Q} $ 分佈通過隨機折扣因子（或定價核心）連結，該因子只是一個縮放的 Radon-Nikodym 導數（通過 Girsanov 定理改變度量）。就這樣 $ \mathbb{P} $ 參數和 $ \mathbb{Q} $ 參數也被連結，使用定價核心中嵌入的風險溢價，見這個答案。因此，如果我們知道真正的 SDF 和真正的 $ \mathbb{Q} $ 參數，我們可以恢復真實的 $ \mathbb{P} $ 參數。