表明遠期起始期權的 delta 為 0，並且在確定行權之前對波動不敏感
我需要證明回報： $ ([(S_{T2}-S_{T1})/S_{T1}]-k)^+ $
一個。有 0 個增量
灣。對底層證券的二次變化不敏感 $ T_1 $
另外，我想知道什麼樣的回報 $ f(S_{T1},S_{T2}) $ 這些結果成立嗎？特別是，我會直覺地假設這樣的回報 $ (S_{T2}-KS_{T1})^+ $ 也尊重這些規則(b)。
我的想法：
對於對數正態模型，(a) 和 (b) 只需將封閉形式的解代入 SDE 即可。除此之外，我無話可說。
我將以更常見的形式重寫第一個收益 $ (S_T/S_{t^} - k)_+ $ ， 在哪裡 $ t^ $ 是遠期開始日期， $ T $ 到期日，今天是 $ t $ . 所以 $ t < t^* < T $ .
我將假設一個純隨機波動率模型（指定模型非常重要）。
那麼今天的遠期開始期權價格是 $$ \begin{align} E_t \left[ \left( \frac{S_T}{S_{t^}} - k \right)+\right] &= E_t \left[ E{t^} \left[ \left. \left( \frac{S_T}{S_{t^}} - k \right)+ \right| \mathcal{F}{t^}\right]\right] \ &=E_t \left[ \frac{1}{S_{t^}} E_{t^} \left[ \left. \left(S_T - k S_{t^} \right)+ \right| \mathcal{F}{t^}\right]\right] \ &= E_t \left[ \frac{1}{S_{t^}} BS(S_{t^},t^, kS_{t^},T, I^* ) \right] \end{align} $$ 由於我們使用的是純 SV 模型，首先是隱含波動率 $ I^* $ 有時 $ t^* $ 是金錢的功能 $ S_{t^}/(kS_{t^}) = 1/k $ . 此外，Black-Scholes 看漲價格函式在現貨和行使價中是 1 次齊次的，這意味著 $$ BS(S_{t^},t^, kS_{t^},T, I^(k) ) = S_{t^} BS(1,t^, k,T, I^(k) ) $$ 因此，今天遠期開始期權的價格不取決於現貨的未來價值 $ t^ $ : $$ \begin{align} E_t \left[ \left( \frac{S_T}{S_{t^}} - k \right)_+\right] &= E_t \left[ BS(1,t^, k,T, I^(k) ) \right] \ &= BS(1,t,k,I^{FS}(k)) \end{align} $$ 在哪裡 $ I^{FS}(k) $ 是（定義）遠期開始隱含波動率。可以證明，遠期開始隱含波動率不僅取決於 $ k $ 還要考慮區間內的未來波動 $ [t^,T] $ . 但是由於 $ E_t \left[ BS(1,t^, k,T, I^(k) ) \right] $ 不依賴於現貨 很明顯，遠期開始 IV 不依賴於現貨價格。
現在是第二個有回報的前鋒開始選項 $ \left(S_T - kS_{t^} \right)+ $ ：重複上面的條件論證，並再次使用您將獲得的 BS 模型的同質性 $$ \begin{align} E_t \left[ \left( S_T- kS{t^}\right)+\right] &= E_t \left[ S{t^} BS(1,t^, k,T, I^(k) ) \right] \end{align} $$ 現在在預期範圍內依賴於未來現貨，一般來說，因為隱含波動率 $ I^(k) $ 取決於與現貨價格相關的波動性，無法輕易評估預期。但是，通過改變計價方式（即在份額衡量下），您可以寫 $$ \begin{align} E_t \left[ \left( S_T- kS_{t^}\right)_+\right] &= S_t E^{\mathbb S}_t \left[ BS(1,t^, k,T, I^*(k) ) \right] \end{align} $$ 無論如何，您指定的第二個收益具有增量以及（未來）波動性。
上面的推導/參數對純 SV 模型有效。在 (S)LV 模型中，由於隱含波動率不再是貨幣性（和波動率）的簡單函式，即使對於您編寫的第一個收益，也會有 delta。
至於陳述/問題，這些選項是否在執行日期之前存在二次變化？我會說是的，除非二次變化超過 $ [t^,T] $ 獨立於二次變化 $ [t,t^] $ 我認為一般情況下並非如此。