如果無風險利率為零，股票價格是鞅嗎？
我遇到了這樣一個問題：
假設 IBC 公司的交易價格為每股75 美元。當 IBC 第一次達到 100 美元時，建構一個只支付 1 美元的衍生證券需要多少成本？忽略股息，假設無風險利率為零，假設所有資產都是無限可分的，忽略任何賣空限制。
有一個使用無套利論點的解決方案。但我的直覺是使用鞅。由於利率為零，如果股票遵循幾何布朗運動，則漂移項為零，因此股票價格變為鞅。如果我們使用鞅屬性 $ E[S_{0}] = E[S_{T}] $ ，並假設股價的上限為100，下限為0，那麼我們可以計算機率 $ \alpha $ 在時間 T 達到100美元
$$ E[S_{T}] = \alpha\times$100 + (1-\alpha)\times$0 = E[S_{0}] = 75 $$ 我們得到 $ \alpha = 0.75 $ ，因此衍生品的預期收益為 $$ $0.75=0.75\times$1 + (1-0.75)\times$0 $$ 因此衍生品的價格應該是0.75美元。我在機率或鞅理論方面沒有太多背景，所以這是解決這個問題的有效論據嗎？
您的推導不正確，因為期權沒有固定期限 $ T $ . 相反，只要股票達到 100，它就會結束。從數學上講，這意味著我們有一個停止時間，它是一個隨機變數 $ \tau(\omega) = \inf {t \ge 0 | S_t(\omega) = 100} $ .
通常假設股票價格最終達到 100 即 $ \tau $ 幾乎肯定是有限的。
在這種假設下這種情況 $ S_\tau $ 定義明確並且總是等於 $ 1 $ . 注意 $ E[S_\tau] \neq E[S_0] $ 雖然 $ S $ 是鞅。這是因為停止時間 $ \tau $ 是無界的，因此可選停止定理不適用。
練習的解決方案是從 delta 對沖的角度來思考。您需要持有多少股票來對沖風險？當時 $ \tau $ , 股票值 $ S_\tau = $100 $ . 所以你可以通過購買來複製你的回報 $ 1% $ 在時間 0 持有股票並持有直到達到 $ $100 $ 支付 $ $1 $ . 所以衍生品的價格是 $ S_0/S_{\tau} = $0.75 $ .