為什麼貼現的衍生品價格是鞅？
通常在表明貼現股票價格過程在風險中性測度下是鞅之後，大多數作者說這意味著貼現衍生品價格過程也是鞅。但我很難看出前者如何暗示後者。通常，鞅的函式不是鞅。任何人都可以對此進行更多說明嗎？
在 Black-Scholes 框架下，風險中性測度下的股票價格動態 $ \mathbb{Q} $ 由…給出
$$ S_t = r S_tdt +\sigma S_tdW^{\mathbb{Q}}_t $$ …以及無風險債券的：
$$ \begin{align} dB_t = rB_tdt \end{align} $$ 讓我們將導數值定義為 $ V(t,S_t) $ ，這僅取決於時間 $ t $ 和股價 $ S_t $ . 為了符號清晰，我們還將寫 $ V_t $ .
因為衍生品的價值只取決於時間和股票價格，所以我們可以形成一個由以下組成的投資組合 $ w_S(t) $ 股票的股份和 $ w_B(t) $ 複製衍生品收益的債券。由於投資組合複製了收益，因此衍生品和投資組合必須對所有人都具有相同的價值。 $ t $ 之間 $ 0 $ 以及衍生品的到期日 $ T $ :
$$ V_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t $$ 該投資組合需要自籌資金，這意味著分配變化的淨影響 $ w(t)=(w_S(t),w_B(t)) $ 必須等於 $ 0 $ $ - $ 即沒有現金注入或退出投資組合：
$$ dV_t = w_S(t)dS_t+w_B(t)dB_t \quad (1) $$ 為確保財產 $ (1) $ 經驗證，一個簡單的策略是選擇：
$$ w_B(t) = \frac{V_t - w_S(t)S_t}{B_t} $$ 事實上，在每個時間步，您都通過購買（出售）重新平衡您的投資組合 $ w_S(t+dt)-w_S(t) $ 股票和出售（購買）債券的數量使得衍生品價值和投資組合價值匹配。
我們最終得到衍生品價值的以下動態：
$$ dV_t = w_S(t)dS_t + r(V_t-w_S(t)S_t)dt \quad (2) $$ 現在，考慮折現股價的動態。根據伊藤引理：
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}S_t\right) & = -re^{-rt}S_tdt + e^{-rt}dS_t \[9pt] & = e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} \end{align} $$ 因此，如您的問題所述，折現股價是鞅 $ ^1 $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ . 現在讓我們再次用 Ito 引理推導出貼現導數值過程的動態：
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}V_t\right) = -re^{-rt}V_tdt + e^{-rt}dV_t \quad (3) \end{align} $$ 現在，結合 $ (2) $ 和 $ (3) $ :
$$ \begin{align} d\left(e^{-rt}V_t\right) & = -re^{-rt}V_tdt + w_S(t)e^{-rt}dS_t + r(V_t-w_S(t)S_t)e^{-rt}dt \[9pt] & = w_S(t)e^{-rt}dS_t - w_S(t)e^{-rt}rS_tdt \[9pt] & = w_S(t)e^{-rt}rS_tdt + w_S(t)e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} - w_S(t)e^{-rt}rS_tdt \[9pt] & = w_S(t)e^{-rt}\sigma S_tdW_t^{\mathbb{Q}} \[9pt] & = w_S(t) , d\left(e^{-rt}S_t\right)\end{align} $$ 貼現導數值的動態是無漂移的 $ - $ 即我們只有一個術語 $ dW_t^{\mathbb{Q}} $ 剩下 $ - $ 因此，在風險中性測度下，折現的衍生品價格是鞅 $ ^1 $ .
技術要點 $ 1 $ : 伊藤工藝 $ X_t $ 和 $ 0 $ 漂移嚴格來說是當地的鞅。需要進一步的技術條件來確保該過程也是鞅：一個這樣的可能條件是該過程的預期二次變化必須是有限的。一般來說，我們在金融工程中使用的局部鞅會驗證這種類型的條件，因此我們不會費心證明局部鞅也是鞅。
在這裡，在折現股價的情況下：
$$ \mathbb{E}\left[[S,S]_t\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^t\sigma^2e^{-2ru}S_u^2du\right] < \infty $$ 我們有：
$$ \begin{align} \mathbb{E}\left[\int_0^t\sigma^2e^{-2ru}S_u^2du\right] & = \sigma^2S_0^2 \mathbb{E}\left[\int_0^te^{-2ru}e^{2\left((r-\frac{\sigma^2}{2})u + \sigma W_u\right)}du\right] \[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{-\sigma^2u} \mathbb{E}\left[e^{2\sigma W_u}\right]du \[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{-\sigma^2u} e^{2\sigma^2 u}du \[12pt] & = \sigma^2S_0^2 \int_0^te^{\sigma^2u}du \[12pt] & = S_0^2 \left(e^{\sigma^2t}-1 \right) \end{align} $$ 對所有人來說都是有限的 $ t $ . 對於導數：
$$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(w_S(u)\sigma e^{-ru}S_u\right)^2du\right] < \infty $$ 條件結束 $ w_S(t) $ 需要確保期望是有限的。在歐式看漲期權的情況下，我們將：
$$ \begin{align} & w_S(t) = -\frac{\partial V}{\partial S}(t,S_t) = -\mathcal{N}(d_1) < 1 \[6pt] & \Rightarrow 0< w_S(t)^2 < 1 \end{align} $$ 因此，歐洲看漲期權價格也是一個鞅：
$$ \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(w_S(u)\sigma e^{-ru}S_u\right)^2du\right] < \mathbb{E}\left[\int_0^t\left(\sigma e^{-ru}S_u\right)^2du\right] < \infty $$
我們下令 $ D_t $ 有一定的過程使它成為鞅。特別是，我們讓
$$ D_t = \mathbb{E} ( D_T , | , \mathcal{F}_t) $$ 根據塔定律，這是微不足道的鞅。由於貼現的股票價格和貼現的債券價格是鞅，我們將一切都設為鞅，這確保了鞅度量中沒有套利。但是，現實世界的度量與其等效，因此也沒有。