為什麼我們不將差價與 Delta 對沖投資組合中的 Delta 相提並論
對於選項 $ V(S,t) $ 與標的資產 $ S $ , 我們有一個對沖投資組合
$$ \Pi = V(S,t) - \Delta(S,t)S $$ 我總是在這裡混淆，當我們取微分時 $ \Pi $ $$ d\Pi = dV -\Delta dS $$ 為什麼我們不需要把微分作為 $ \Delta(S,t), $ 我認為應該是 $$ d\Pi = dV -d(\Delta S). $$ 我們稱之為 delta-hedge
self-financing,任何人都可以告訴我一個明確的理由嗎？
注意：我已經編輯了答案，以便更清楚地解釋自籌資金的情況。
讓我們指定符號： $ C_t $ 是衍生品價格； $ S_t $ 股票的； $ B_t $ 債券的； $ w_C(t) $ , $ w_S(t) $ 和 $ w_B(t) $ 分別持有期權、股票和債券； $ C_T=h(S_T) $ 期權的收益，我們假設是歐式的，因此 $ T $ 是衍生品的到期日。
首先，您編寫的方程式並不完全正確，因為正如本網站多次解釋的那樣，您無法通過持有期權並簡單地調整股票持有量來獲得自籌資金的投資組合：事實上，您無法動態對沖一個期權只有 $ w_S(t) $ 股票，因為當時間流逝 $ w_S(t) $ 更改，您可以更改分配的唯一方法 $ - $ 你的控股 $ w_S(t) $ $ - $ 是從您的投資組合中註入或提取現金，因此您需要更多的自由度 $ - $ 更多的權重 $ - $ 在您的等式中避免現金注入/取款。現在，有幾種方法可以查看情況：
- 您可以形成一個由期權和股票組成的自籌資金組合，其中選擇權重以取消所有隨機項。由於投資組合是自籌資金且無風險的，因此它必須獲得無風險利率，因此：
$$ B_t = w_C(t)C_t+w_S(t)S_t $$
- 您可以通過持有複製期權的股票和債券來形成投資組合。因此，您的投資組合價值在任何時候都必須等於期權價值：
$$ C_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t $$ 讓我們考慮第二種觀點，即讓我們形成一個由複制期權的股票和債券組成的投資組合：
$$ C_t = w_S(t)S_t+w_B(t)B_t $$ 現在，為什麼投資組合必須是自籌資金的？把自己想像成期權作家 $ - $ 即賣家 $ - $ 並假設期權的售價為 $ t=0 $ 並且您收取其公允價值：然後您的客戶向您支付期權費 $ \pi $ 今天作為交換，他希望你解決責任 $ h(S_T) $ 成熟時 $ T $ . 因為您收取期權的公允價值 $ - $ 你可以通過考慮在流動性、競爭性的市場環境中使這個假設合理化，市場參與者將迫使期權溢價趨於其公允價值，即沒有套利 $ - $ 這意味著您應該能夠以某種方式履行您的財務義務 $ T $ 通過適當分配現金 $ \pi $ 只有這筆錢：您不應該在契約的整個生命週期內添加或取回任何現金。換言之，溢價 $ \pi $ 應該是為您的負債提供資金所需的數量 $ h(S_T) $ 在 $ T $ ，因此必須是這個金額可以在整個期間動態分配給股票和債券 $ [0,T] $ 才有價值 $ C_T=h(S_T) $ 在 $ T $ 隨時向您的客戶付款。考慮這種情況的替代方案：
- 您需要在某個時候向您的頭寸添加現金 $ t \in [0,T] $ : 這對你來說是一種損失，你想避免這種事情，所以你不會這樣做。你會設置 $ \pi $ 以免發生這種情況；
- 您可以在某個時間從您的頭寸中取回現金 $ t \in [0,T] $ ：您將從您的客戶那裡獲取價值。因為我們假設我們處於競爭激烈的市場環境中，其他期權賣方將收取更低的價格，因此您將失去您的客戶。您將被迫設置 $ \pi $ 為了避免這種情況 $ - $ 如果你不想失去你的客戶。
我們已經確定，在整個交易週期內，不應注入或收回現金。因此，這意味著重新平衡投資組合對投資組合價值的淨影響必須為 null。應用伊藤引理 $ dC_t $ ，這相當於驗證了以下自籌資金條件：
$$ S_tdw_S(t) + dw_S(t)dS_t + B_tdw_B(t) + dw_B(t)dB_t = 0 \qquad (1) $$ $ (1) $ 意味著複製投資組合根據：
$$ dC_t = w_S(t)dS_t+w_B(t)dB(t) \qquad (2) $$ 也就是說，投資組合價值應該只因期權、股票和債券價格的波動而改變。
現在，這並不意味著 $ w_S $ 和 $ w_B $ 在整個交易過程中不會改變：這些函式告訴我們必須持有多少股票和債券 $ t $ 能夠支付 $ h(S_T) $ 在 $ T $ ，並且因為 $ S_t $ 和 $ B_t $ 隨著時間的推移，他們的財產也必須隨著時間的推移而發展。因此，我們應該不斷地重新平衡我們對股票和債券的持有，但購買額外的股票（債券）必須始終通過出售債券（股票）來融資，而不是注入或減少任何現金。
最後，請注意等式 $ (2) $ 定義了一個可複制的、自籌資金的投資組合，但我們始終需要確保條件 $ (1) $ 滿足：換句話說，我們不僅應該假設方程 $ (2) $ ，但我們還必須確保 $ w_S(t) $ 和 $ w_B(t) $ 以這樣的方式選擇 $ (1) $ 已驗證。
我建議看一下Shreve 的Stochastic Calculus for Finance II中的練習 4.10“自籌資金交易”，其中討論並連接了離散時間和連續時間的情況。