為什麼必須將股息再投資以使用風險中性定價？
假設股票的價格 $ S_t $ 持續派發股息 $ a $ 滿足
$$ dS_t = S_t\left((\mu - a)dt + \sigma dW_t\right). $$ 風險中性定價公式表明，如果 $ \mathbb{Q} $ 是任何機率測度，使得 $ e^{-rt}S_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -martingale (MG)，然後是任何自籌資金複製策略的價值 $ V_t $ 複製回報 $ X = f(S_T) $ 是 $$ V_t = \mathbb{E}_{\mathbb{Q}}\left[e^{-r(T-t)}X|\mathcal{F}_t\right]. $$ 所以，打折 $ S_t $ 併計算微分
$$ dZ_t := d(e^{-rt}S_t) = Z_t\left((\mu - a - r)dt + \sigma dW_t\right). $$ 定義 $ \frac{d \mathbb{P}}{d \mathbb{Q}} = \exp\left(-\theta W_t -\frac{1}{2} \theta^2 t\right) $ 和 $ \tilde{W}_t = W_t + \theta t $ 對於一些 $ \theta $ , 我們通過替換來確定 $ W_t $ 和 $ \tilde{W}_t $ 在 $ dZ_t $ 並使其無漂移： $$ \begin{align*} dZ_t & = Z_t\left((\mu - a - r)dt + \sigma (d\tilde{W}_t - \theta dt)\right) \ & = Z_t\left((\mu - a - r - \theta \sigma)dt + \sigma d\tilde{W}_t \right) \ & = \sigma Z_td\tilde{W}_t, \end{align*} $$ 我們設置的地方 $ \theta = \frac{\mu - a - r}{\sigma} $ . 我們找到了一個 $ \mathbb{Q} $ 這樣 $ Z_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -MG，所以可以照常定價。 然而，Shreve (Stochastic Calculus for Finance II) on p。235 推導出貼現投資組合過程（再投資股息），並找到風險的市場價格 $ \theta $ 對於該過程，表明當這樣做時，貼現庫存過程確實不是鞅。為什麼不像我那樣做呢？
“所以我們可以照常定價”是什麼意思？你所展示的是，對於每個 $ c \in \mathbb R $ 我們可以找到一個機率測度，使得 $ S $ 是 $ c $ . 但這並沒有真正說明定價。
你可以很容易地看到 $ V_t = E^Q_t[e^{-r(T-t)} \Phi_T] $ 不提供您選擇的無套利價格 $ Q $ . 確實如果 $ \Phi_T = S_T $ ， 然後 $ E^Q_t[e^{-r(T-t)} S_T] = S_0 $ . 但如果我投資 $ S_0 $ 在當時的股票 $ 0 $ ，然後在時間 $ T $ , 我會擁有 $ S_T $ 加上我賺取的所有紅利。
無套利定價中重要的是自籌資金組合（=策略）的概念。兩個具有相同現金流的自籌資金投資組合必須具有相同的價格。問題是，在有股息的情況下，投資組合 $ V_t = S_t $ 不是自籌資金。
編輯：您可能會因為風險中性度量通常被定義為貼現標的價格過程是鞅的度量而感到困惑。如果是這種情況，您的措施將是風險中性措施。但是風險中性度量的正確定義是自籌資金投資組合貼現價格過程是鞅的度量（Shreve p. 234 提到了這一點）。這很重要，因為自籌資金獨立於您考慮的衡量標準，因此您可以根據歷史衡量標準來判斷投資組合是否是自籌資金，然後使用風險中性定價對其進行實際定價。
這就是定價公式的來源：如果
- 回報 $ \Phi_T $ 可以通過自籌資金的投資組合複製 $ V_T = \Phi_T $ ,
- 存在一種度量，在該度量下，自籌資金組合的折現價格是鞅 $$ V_t= E_t^Q[e^{-r(T-t)}V_T]= E_t^Q[e^{-r(T-t)}\Phi_T]. $$ 這給了我們現金流的價格。
考慮一個有基礎資產的市場 $ (S^1,\ldots,S^d) $ 和錢賬戶 $ S^0_t = e^{rt} $ .
索賠：在沒有股息的情況下，如果所有折扣 $ S^i $ 是機率測度下的鞅 $ \mathbb{Q} $ 那麼所有貼現的自籌資金投資組合也是如此（所以 $ \mathbb{Q} $ 是風險中性措施）。
證明：考慮一個投資組合
$$ V_t = \delta^0_t S^0_t + \sum_{i=1}^d \delta_t^i S^i_t $$ 請注意 $ \delta^0_t S^0_t = V_t - \sum_{i=1}^d \delta_t^i S^i_t $ . 將此插入自籌資金等式 $$ \begin{eqnarray*} dV_t &=& \delta^0_t dS^0_t + \sum_{i=1}^d \delta_t^i dS^i_t \ dV_t &=& \delta^0_t rS^0_tdt + \sum_{i=1}^d \delta_t^i dS^i_t \ dV_t &=& r(V_t - \sum_{i=1}^d \delta_t^i S^i_t)dt + \sum_{i=1}^d \delta_t^i dS^i_t \ dV_t - rV_t &=& \sum_{i=1}^d \delta_t^i (dS^i_t - rS^i_t dt) \ d(e^{-rt}V_t) &=& \sum_{i=1}^d \delta_t^i d(e^{-rt}S^i_t) \end{eqnarray*} $$ 由於所有 $ (e^{-rt}S^i_t) $ 是 $ \mathbb{Q} $ - 鞅，也是 $ (e^{-rt}V_t) $ . 結論使風險中性度量對定價有用的原因是貼現的自籌資金投資組合是鞅。在沒有股息的情況下，這相當於貼現的底層證券是鞅。但是支付股息的資產本身並不是一個自籌資金的投資組合，因此找到它是鞅的機率度量是沒有用的。