定價平方導數：等於 S^2 + 一條 otm 看漲期權 + 一條 otm 看跌期權 = 僅看漲期權
在 Peter Carr, Dilip Madan, Towards a Theory of Volatility Trading, 1998 中（這裡也是由 Gordon 推導出的），看漲期權和看跌期權都用於複製任何兩次可微分的收益。我想人們會選擇 atm fwd 作為 kappa，然後使用 otm 期權為衍生品定價。
在使用看漲期權和看跌期權複製平方導數的答案中，平方導數的收益僅通過看漲期權進行複制。
我們如何證明 Carr 和 Madan 論文中的原始公式和僅使用看漲期權的複制是相等的？
這感覺就像它與看跌期權平價和整合現場以獲得原始公式的第一項有關。但我對如何處理看跌期權平價中的罷工條款感到迷茫。
對於足夠平滑的函式 $ f $ 和正常數 $ a $ , $$ \begin{align*} f(x) &= f(a) + f’(a) (x-a) + \int_a^{\infty}(x-u)^+f’’(u)du + \int_{0}^a(u - x)^+f’’(u)du. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} S_T^2 &= a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_a^{\infty}(S_T-u)^+du + 2\int_{0}^a(u - S_T)^+du\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du + 2\int_{0}^a\Big[(u - S_T)^+-(S_T-u)^+\Big]du\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du +2\int_{0}^a (u - S_T)du\ &=a^2 + 2a(S_T-a) + 2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du + a^2-2aS_T\ &=2\int_0^{\infty}(S_T-u)^+du. \end{align*} $$