衍生
使用看漲期權和看跌期權複製平方導數
我有一個有回報的衍生品 $ S_T^2 $ 有時 $ T > 0 $ 和 $ S_T $ 表示非派息股票的價格為 $ T $ . 我遇到了一個問題，即如何通過普通的看漲期權和看跌期權靜態複製這種衍生品。
我的猜測是，在整個支持下是不可能做到這一點的 $ S_T $ . 由於平方函式最終支配線性函式並且看漲期權是線性的 $ S_T $ 為了 $ S_T $ 足夠大，不可能有一系列線性組合的看漲期權和看跌期權會收斂到這個導數的收益。我還得到了一個提示，我應該考慮整合。我知道 $ S_T^2 $ 可以寫成 $ S_T^2 = 2\int_0^{S_T}x,dx $ 但我不確定這是否是暗示所暗示的。任何提示/解決方案表示讚賞。
注意
$$ \begin{align*} S_T^2 = 2\int_0^{S_T} k dk. \end{align*} $$ 然後 $$ \begin{align*} S_T^2 &= 2S_T^2-2\int_0^{S_T} k dk\ &=2S_T\int_0^{S_T}dk-2\int_0^{S_T} k dk\ &=2\int_0^{S_T} (S_T-k)dk\ &=2\int_0^{\infty} (S_T-k)^+dk. \end{align*} $$ 對於分區 $ 0=k_0 < k_1 < \cdots < k_n < \infty $ , $$ \begin{align*} S_T^2 &=2\int_0^{\infty} (S_T-k)^+dk\ &\approx 2\sum_{i=1}^n (k_i-k_{i-1})(S_T-k_i)^+. \end{align*} $$ 也就是說，它可以被一組看漲期權複製。看跌期權的複制是類似的。