未覆蓋集與頂部循環集（投票理論）
鑑於政策集，我正在努力查看何時 $ X = {x_{1}, … , x_{m}} $ ， 和 $ m > 1 $ ，它的未覆蓋集和頂部循環集可能不重合（即當頂部循環集具有不在未覆蓋集中的策略時）。
未覆蓋集定義如下。政策 $ x $ 蓋子 $ y $ 如果 (1) 它是多數優先的 $ y $ , 和 (2) 多數人偏好的所有政策 $ x $ 同樣優選 $ y $ . 如果沒有 $ x $ 滿足標準（1）和（2），那麼我們說 $ y $ 被發現。
接下來，通過將策略集劃分為 k 個不相交的子集來定義頂部循環集，$$ {L_{1}, … , L_{k}}, \text{where} ; 1 \leq k \leq m $$通過迭代應用頂部循環集的想法，其中 $$ (L_{1} = {x ∈ X | ; ∄ ; y ∈ X / L_{1} ; s.t. ; y \succ x}) $$
我們稱這些子集為 $ X $ 水平來暗示心理畫面：人們可以將選舉環境視為一系列水平或高原（如果 $ k > 1 $ ）。每個高原在選舉上都支配著低於它的那些：給定級別的每項政策都比較低級別的所有政策受到多數人的青睞。此外，每個級別的政策都涵蓋了較低海拔的所有政策。這意味著 $ X $ 的未覆蓋集是 $ L_{1} $ ，未覆蓋的集合 $ X / L_{1} $ 是的一個子集 $ L_{2} $ ，等等。
在此設置中進行了建設性定義，策略位於頂部循環集中 ( $ L_{1} $ ) 當且僅當它可以通過直接多數偏好鏈從所有其他策略中到達。
具體來說，鑑於上述定義，我無法理解為什麼上述頂循環集的定義意味著 $ X $ 的未覆蓋集是 $ L_{1} $ .
如果有人能想到一個例子或其他一些解釋/輸入，我將不勝感激。提前致謝！
這個例子來自Miller (1980)（介紹未覆蓋集定義的論文）。
假設多數人的偏好定義為：
$$ \begin{aligned} x \succ y \ x \succ z \ y \succ v \ y \succ z \ v \succ x \ z \succ v \end{aligned} $$
在這個例子中，我們有頂部循環集 $ L_1 = {x, y, z, v } $ （你可以檢查這個）。
但請注意 $ y $ 優先於 $ z $ 以及所有首選的政策 $ y $ （即 $ x $ ), 優先於 $ z $ . 所以， $ y $ 蓋子 $ z $ 和未覆蓋的集合 $ U $ 是這樣的 $ U = {x, y, v} $ 和 $ U \subset L_1 $ .
在米勒在他的論文中證明的其他內容中，我們有以下三個：
- 如果有孔多塞獲勝者， $ L_1 = U $ ;
- 如果 $ L_1 $ 有三個元素，那麼 $ L_1 = U $ ;
- $ U \subseteq L_1 $ .