不到一年後的年度複利工具的應計利息
我正在閱讀一本關於固定收益工具的書，但不太理解其中一個關於復合利率的例子。假設投資按年復利 $ r $ . 然後 $ T $ 年，在哪裡 $ T $ 是一個整數，帳戶應該包含 $ (1+r)^T $ 次是初始餘額。這本書聲稱，即使對於非整數值 $ T $ 的公式 $ (1+r)^T $ 是正確的。
我真的不明白為什麼會這樣。我原以為應計利息在時間上是線性的，並且與最近複利日期的餘額成正比。
我原以為應計利息在時間上是線性的，並且與最近複利日期的餘額成正比。
不，它不是線性的——事實上它很容易展示。假設您從100美元開始，年復合增長率為 10%。1 年後您將擁有 $ $100 * (1+0.10) = $110 $ . 由於利息是複利的（意味著利息被添加到餘額中），2年後您將擁有 $ $110 * (1+0.10) = $121 $ . 3年後， $ $133.1 $ . 所以賺取的利息不是線性的。
也就是說，聲稱 $ (1+r)^T $ 對於非整數值也是正確的 $ T $ 不完全正確。這取決於興趣複合的頻率以及對什麼的解釋 $ r $ 是。對於較小的值，這是一個不錯的近似值 $ r $ ，但是看看 1,000 美元的投資，利息為 20%，每半年復利一次（意味著每 6 個月復利 10%）。
1年後，您將擁有 $ ($1,000 * (1+0.1)) * (1+0.1) = $1,210 $ 相對 $ $1,000 * (1+0.2) = $1,200 $ . 作為 $ r $ 上升，兩種方法之間的誤差增加。
或者，如果您將 20% 解釋為年化率，則半年計算為 $ $1,000 * (1+0.2)^{1/2} = $1,095 $ 相對 $ $ 1,100 $ 為等效的半年利率。
但是，從投資的角度來看，這些差異通常可以忽略不計，在進行比較分析時，更簡單的公式“足夠好”（只要用法一致）。