假設我有 2 組不同且獨立（不能混合）的罷工，{K1} 和 {K2}。如果我使用第一組期權創建一個組合併在到期時計算我的收益，是否可以用另一組行使價 {K2} 複製（或近似）它？

如果您能分享一些關於該主題的論文，我也將不勝感激。

我假設您想最小化複製的一些錯誤函式。為簡單起見，我將重點關注下面的平方誤差積分。

不失一般性，讓我們假設對於某個目標打擊水平 $ K $ （從第 1 組開始），存在 $ 2n $ 對稱（左右 $ K $ ) 第 2 組中的間隔打擊，有間隔 $ \pm h,\pm2h,\pm3h…,\pm nh $ . 為了最小化複製的平方距離，我們希望最小化：

$$ \begin{align} E(w_1,\ldots,w_n)&\equiv\int_L^U\left(\sum_j^n\frac{w_j}{2}\left(\left(x-(k+jh)\right)^++\left(x-(k-jh)\right)^+\right)-(x-k)^+\right)^2\mathrm{d}x\ &=\int_L^U\left(\sum_j^n\frac{w_j}{2}\left(f_j^+(x)+f_j^-(x)\right)-f(x)\right)^2\mathrm{d}x \end{align} $$ 為了控制全域錯誤級別，我們必須確保 $ x $ 為零，即 $ \sum w_j=1 $ ; 否則樹籬會爆炸。然後，我們可以設置 $ L=k-nh,U=k+nh $ 作為我們的集成範圍。

我們的問題的拉格朗日是

$$ L=E-\lambda(w^Te-1) $$ （在哪裡 $ e $ 是一個向量）具有最優條件 $$ \begin{align} E_w -\lambda e &= 0 \ e^Tw&=1 \end{align} $$ 讓我們更仔細地看一下梯度 $ E $ :

$$ \begin{align} \frac{\partial E}{\partial w_i}&=\int_L^U\left(\sum_j^n\frac{w_j}{2}\left(f_j^+(x)+f_j^-(x)\right)-f(x)\right)\left(f_i^+(x)+f_i^-(x)\right)\mathrm{d}x\ &=\int_L^U\sum_j^nw_j\left(f_j^+(x)+f_j^-(x)\right)\left(f_i^+(x)+f_i^-(x)\right)-f(x)\left(f_i^+(x)+f_i^-(x)\right)\mathrm{d}x\ &\equiv w^TG_i-g_i \end{align} $$ 函式在哪裡 $ G_i, g_i $ 從整合的結果，是獨立的選擇 $ w_i $ . 因此，誤差函式的梯度是線性的 $ w $ ， IE $ E_w=Gw-g $ . FOC 變為

$$ \begin{pmatrix} G&e\ e^T &0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w\ \lambda \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} g\1 \end{pmatrix} $$ 這可以通過線性代數來解決。請注意，我選擇敲擊間距只是為了方便，該方法也適用於不規則空格敲擊。

一個例子。

假設我們可以選擇罷工 $ K=10 $ , 複製工具有罷工 $ 7,8,9,11,12,13 $ （三對）。更換後 $ w_3=1-w_1-w_2 $ ，相應的誤差積分計算為

$$ E=\frac{1}{6}(27 + 20 w_1^2 + 23 w_1 (-2 + w_2) - 26 w_2 + 7 w_2^2) $$

帶 FOC： $$ \begin{pmatrix} 40&23\ 23 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} w_1\w_2 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 46\26 \end{pmatrix} $$

最優權重解決為 $ w_1\approx 1.483871, w_2\approx -0.58065 $ , $ w_3=1-w_1-w_2\approx 0.09677 $ , 有相應的錯誤 $ E\approx 0.06989 $ .

僅使用兩個最近的鄰居（這是我的第一個想法）的天真近似會導致（更大的）錯誤 $ E=1/6 $ . 作為參考，這裡是使用兩個、四個或六個相鄰打擊時的誤差被積函式圖（ $ n=1,2,3 $ ):

附錄

正如使用者 dm63 在他的回答中所寫，這實際上只是一個函式逼近練習。假設你想近似函式 $ f $ 使用 $ n $ 測試功能 $ g_i $ 在平方誤差意義上。每個測試功能都有一定的貢獻 $ w_i $ . 讓 $ g=\left(g_1,\ldots,g_n\right)^T $ 和 $ w=\left(w_1,\ldots,w_n\right)^T $ :

$$ \begin{align} I &\equiv \int_D \left( w^Tg-f \right)^2\mathrm{d}x\ &= \int_D w^Tgg^Tw -2w^Tgf+f^2 \mathrm{d}x\ &=w^T\begin{pmatrix} <g_1,g_1>&<g_1,g_2>&\cdots&<g_1,g_n>\ <g_1,g_2>&<g_2,g_2>&\cdots&<g_2,g_n>\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\ <g_1,g_n>&<g_2,g_n>&\cdots&<g_n,g_n> \end{pmatrix}w\ &-2w^T\begin{pmatrix} <f,g_1f>\ <f,g_2>\ \cdots\ <f,g_n> \end{pmatrix}+<f,f>\ &\equiv w^THw-2w^Th+<f,f> \end{align} $$ 在哪裡 $ <f,g>=\int_D f(x)g(x)\mathrm{d}x $ - 這是一個二次問題，可以使用相應的方法解決。

HTH？

這更像是一個數學問題，而不是一個量化金融問題。您在問是否可以通過在 {K2} 處具有“中斷”的分段線性函式來近似在 {K1} 處具有“中斷”的分段線性函式。好吧，如果 {K2} 足夠好（非常接近），那麼您可以任意接近，是的。但如果不是這樣，你將有很長的路要走。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/69832